Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:

Passo 1

O enunciado pede: “Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes”.
Informação relevante disponível: nenhuma integral específica foi fornecida no enunciado que você me enviou.
Conclusão imediata: não há como calcular respostas numéricas/algebricas para integrais não fornecidas — preciso das expressões das integrais para dar as respostas pedidas.

Passo 2

Mesmo sem as integrais específicas, vou te ensinar passo a passo a técnica de Integração por Partes de forma prática e didática, com exemplos resolvidos detalhadamente. Assim você poderá aplicar o mesmo raciocínio às integrais que tiver na prova. Vou explicar a fórmula, como escolher as partes, mostrar dois exemplos clássicos com todos os detalhes e dar uma dica prática para casos repetidos.

Passo 3

Derivação e fórmula da Integração por Partes (explicação detalhada e intuitiva). Começamos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)\,dx=\int u'(x)\,v(x)\,dx+\int u(x)\,v'(x)\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente u(x)\,v(x). Reorganizando para isolar \int u(x)\,v'(x)\,dx obtemos a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é uma função de x que escolhemos (escrita como u(x), às vezes só \emph{u});
  • dv é o resto do integrando multiplicado por dx (por exemplo, se integrando é x e^x\,dx, podemos escolher dv=e^x\,dx);
  • du é a diferencial de u, ou seja du = u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva (antiderivada) de dv, ou seja v=\int dv.
Regra prática para escolher u: prefira fazer u a parte que fica mais simples ao derivar. Um mnemônico comum (e útil) é LIATE:
L = Logaritmos (ex.: \ln x), I = Inversas trigonométricas, A = Álgebraicas (polinômios x,x^2), T = Trigonométricas, E = Exponenciais. Em geral, escolha u na ordem LIATE (o que vier primeiro na lista tende a ser uma boa escolha).

Passo 4

Exemplo 1 (muito comum): calcular \displaystyle \int x\,e^{x}\,dx.
  1. Identificação do integrando: é x\cdot e^{x}. Queremos aplicar \int u\,dv = u v - \int v\,du.
  2. Escolha de u e dv usando LIATE: x é algébrica e e^{x} é exponencial; escolha
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
  1. Calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(x)\,dx = 1\cdot dx = dx,
v = \int dv = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
  1. Aplique a fórmula:
\int x\,e^{x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx.
  1. Calcule a integral restante \int e^{x}\,dx:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
  1. Substitua:
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C = e^{x}\,(x-1) + C,
onde C é a constante de integração.
Comentário didático final sobre esse exemplo: a chave foi escolher u que simplificasse ao derivar (derivar x vira 1), e escolher dv cuja antiderivada v seja simples (aqui e^x é sua própria primitiva).

Passo 5

Exemplo 2 (caso clássico que aparece sempre): calcular \displaystyle \int \ln x\,dx (observe que essa integral exige cuidado com domínio: \ln x está definido para x>0).
  1. O integrando é \ln x. Uma estratégia padrão é escrever \ln x como \ln x \cdot 1 e escolher u=\ln x, dv=1\cdot dx. Isso porque derivar \ln x simplifica (vira 1/x).
  2. Escolha:
u = \ln x,\qquad dv = dx.
  1. Calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int dv = \int dx = x.
  1. Aplique a fórmula da partes:
\int \ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
  1. Simplifique a integral residual:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.
  1. Conclua:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.
Comentário didático: esse é um padrão que vale a pena decorar. Sempre verás \int \ln x\,dx resolvida dessa forma.

Passo 6

Dica prática para integrais que exigem aplicar partes repetidamente (ex.: \int x^{2}e^{x}\,dx, \int x^{n}e^{x}\,dx etc.): use o método tabular (ou aplique partes várias vezes). O método tabular organiza derivações sucessivas de u e integrações sucessivas de dv para evitar reescrever a fórmula várias vezes — muito útil em prova para economizar tempo e evitar erros de sinal.
Breve exemplo de ideia (sem desenvolver tudo): para \int x^{2}e^{x}\,dx você faria u=x^{2} e dv=e^{x}dx; derivando u duas vezes chega a zero, integrando dv sempre dá e^{x}. A soma das colunas, alternando sinais, fornece o resultado final.

Passo 7

Resumo motivador e incentivo: sem as integrais específicas do enunciado eu não consigo dar as respostas finais pedidas, mas agora você tem a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du, sabe como escolher u com a regra LIATE, e viu dois exemplos completos ( \int x e^{x}\,dx e \int \ln x\,dx). Com esse passo a passo você consegue aplicar a técnica na maioria das integrais que aparecem em provas. Vai dar certo — pratique mais uns 3 exemplos similares antes da prova e você vai ganhar confiança!

Resposta

Não é possível resolver as integrais pedidas: o enunciado não forneceu as expressões das integrais.

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