Calcule as derivadas das funções:
y=\ln \left(\cos ^{2} x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\ln\left(\cos^{2}x+1\right).
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função é uma composta: há um logaritmo natural aplicado a uma função interna u(x)=\cos^{2}x+1.
  • A variável independente é x.
  • Observe que \cos^{2}x+1\ge 1 para todo x, então a expressão dentro do \ln é sempre positiva (logo o domínio da função é todo \mathbb{R}).
    A tarefa é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar (explique a fórmula): se y=\ln(u(x)) com u(x) diferenciável e u(x)>0, então por derivada do logaritmo e pela regra da cadeia temos
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
O que isso significa na prática: primeiro você diferencia a função interna u(x), obtém u'(x), e depois divide por u(x). Aqui u(x)=\cos^{2}x+1.

Passo 3

Identificação da função interna e cálculo de sua derivada: seja
u(x)=\cos^{2}x+1.
A constante 1 some ao derivar, então precisamos derivar apenas \cos^{2}x. Pense em \cos^{2}x como (\cos x)^{2}. Aplicando a regra da cadeia para uma potência: se v(x)=(\cos x)^{2} então
v'(x)=2\cdot(\cos x)\cdot\frac{d}{dx}(\cos x).
Sabemos que \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x. Substituindo,
\frac{d}{dx}(\cos^{2}x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x.
Portanto
u'(x)=-2\sin x\cos x.

Passo 4

Simplificação trigonométrica (opcional, mas útil): a identidade do dobro do ângulo diz
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Usando isso, podemos escrever
u'(x)=-2\sin x\cos x = -\sin 2x.
Ambas as formas são equivalentes; às vezes -\sin 2x fica mais compacto.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Substituindo u'(x)=-\sin 2x (ou -2\sin x\cos x) e u(x)=\cos^{2}x+1, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin 2x}{\cos^{2}x+1}.
Se preferir sem a identidade do dobro do ângulo:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2\sin x\cos x}{\cos^{2}x+1}.

Passo 6

Verificação rápida do domínio da derivada: como \cos^{2}x+1\ge 1>0 para todo x, não há divisão por zero; portanto a derivada acima vale para todo x\in\mathbb{R}. Boa notícia: nada de pontos problemáticos aqui!

Resposta

y'=-\dfrac{\sin 2x}{\cos^{2}x+1}

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