Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função é uma composta: há um logaritmo natural aplicado a uma função interna
. - A variável independente é
. - Observe que
para todo , então a expressão dentro do é sempre positiva (logo o domínio da função é todo ).
A tarefa é encontrar.
Passo 2
Regra que vamos usar (explique a fórmula): se
com
diferenciável e
, então por derivada do logaritmo e pela regra da cadeia temos
O que isso significa na prática: primeiro você diferencia a função interna
, obtém
, e depois divide por
. Aqui
.
Passo 3
Identificação da função interna e cálculo de sua derivada: seja
A constante
some ao derivar, então precisamos derivar apenas
. Pense em
como
. Aplicando a regra da cadeia para uma potência: se
então
Sabemos que
. Substituindo,
Portanto
Passo 4
Simplificação trigonométrica (opcional, mas útil): a identidade do dobro do ângulo diz
Usando isso, podemos escrever
Ambas as formas são equivalentes; às vezes
fica mais compacto.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
. Substituindo
(ou
) e
, obtemos
Se preferir sem a identidade do dobro do ângulo:
Passo 6
Verificação rápida do domínio da derivada: como
para todo
, não há divisão por zero; portanto a derivada acima vale para todo
. Boa notícia: nada de pontos problemáticos aqui!