Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão interna da tangente é
.
Para que o radical esteja definido em números reais precisamos de
, ou seja
.
A derivada que vamos obter será válida nos pontos onde todas as operações envolvidas fazem sentido (em particular onde
é diferenciável e
, porque a derivada da tangente envolve
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos montar a ideia de como derivar sem resolver ainda: a função é uma composição. Para compositor, usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia direitinho: se temos uma função composta
, então a derivada é
Isto significa: derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicamos pelo derivado da função interna
. É como derrubar a casca externa e multiplicar pelo ritmo de variação da parte de dentro.
Passo 3
Identificamos as partes da composição:
sendo
a variável da função externa, e
sendo a função interna.
Ou seja,
Ou seja,
Passo 4
Derivada da função externa
: a fórmula que precisamos saber é
Aqui
significa
, logo
. Em palavras: a derivada da tangente é o quadrado do secante do mesmo argumento.
Passo 5
Agora derivamos a função interna escrita de forma conveniente. Escrevemos
Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia para
. A derivada é
Calculamos
. Substituindo e simplificando:
Voltando ao radical, isso é
Explicando passo a passo: o fator
vem da potência
, o
vem da derivada de
; esses
cancelam, sobrando
sobre
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia completa. Pela regra da cadeia:
Sabemos que
e
. Substituindo
obtemos
Passo 7
Simplificando a expressão e deixando em uma forma limpa e única:
Se preferir, pode escrever
como
, obtendo a forma equivalente
Passo 8
Observações finais (importante para a prova): a fórmula acima é válida para pontos
com
(onde o radical é diferenciável) e desde que
(caso contrário
explode). Se na prova pedirem o domínio da derivada, cite essas condições.