Calcule as derivadas das funções:
y=\tan \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\tan\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)
e pede para calcular a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;1. A expressão interna da tangente é \sqrt{1-x^{2}}.
\;2. Para que o radical esteja definido em números reais precisamos de 1-x^{2}\ge 0, ou seja x\in[-1,1].
\;3. A derivada que vamos obter será válida nos pontos onde todas as operações envolvidas fazem sentido (em particular onde \sqrt{1-x^{2}} é diferenciável e \cos(\sqrt{1-x^{2}})\neq 0, porque a derivada da tangente envolve \operatorname{sec}^{2}).

Passo 2

Vamos montar a ideia de como derivar sem resolver ainda: a função é uma composição. Para compositor, usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia direitinho: se temos uma função composta \;y=f(g(x)), então a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivamos a função externa f avaliando-a na função interna g(x), e multiplicamos pelo derivado da função interna g. É como derrubar a casca externa e multiplicar pelo ritmo de variação da parte de dentro.

Passo 3

Identificamos as partes da composição:
\;f(t)=\tan(t) sendo t a variável da função externa, e
\;g(x)=\sqrt{1-x^{2}} sendo a função interna.
Ou seja,
y=f\big(g(x)\big)=\tan\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big).

Passo 4

Derivada da função externa f(t)=\tan(t): a fórmula que precisamos saber é
\frac{d}{dt}\tan(t)=\operatorname{sec}^{2}(t).
Aqui \operatorname{sec}(t) significa \dfrac{1}{\cos(t)}, logo \operatorname{sec}^{2}(t)=\dfrac{1}{\cos^{2}(t)}. Em palavras: a derivada da tangente é o quadrado do secante do mesmo argumento.

Passo 5

Agora derivamos a função interna escrita de forma conveniente. Escrevemos
g(x)=\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2}.
Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia para (1-x^{2})^{1/2}. A derivada é
g'(x)=\frac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(1-x^{2}).
Calculamos \dfrac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x. Substituindo e simplificando:
g'(x)=\frac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) = -x(1-x^{2})^{-1/2}.
Voltando ao radical, isso é
g'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explicando passo a passo: o fator 1/2 vem da potência 1/2, o -2x vem da derivada de 1-x^2; esses 2 cancelam, sobrando -x sobre \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia completa. Pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Sabemos que f'(t)=\operatorname{sec}^{2}(t) e g'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}. Substituindo t=g(x)=\sqrt{1-x^{2}} obtemos
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)\cdot\left(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).

Passo 7

Simplificando a expressão e deixando em uma forma limpa e única:
\frac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big).
Se preferir, pode escrever \operatorname{sec}^{2} como \dfrac{1}{\cos^{2}}, obtendo a forma equivalente
\frac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}\;\cos^{2}\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)}.

Passo 8

Observações finais (importante para a prova): a fórmula acima é válida para pontos x com -1<x<1 (onde o radical é diferenciável) e desde que \cos\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)\neq 0 (caso contrário \operatorname{sec}^{2} explode). Se na prova pedirem o domínio da derivada, cite essas condições.

Resposta

-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)

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