Calcule as derivadas das funções:
g(x)=ln x cdot raizsen(pi x)

Passo 1

Temos a função g(x)=ln xcdotraizsen(pi x). O conteúdo aqui é derivada de um produto de funções e vamos precisar usar a regra do produto e também a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos chamar f(x)=ln x e h(x)=raizsen(pi x). Primeiro, derivando f(x) usando que ddxln x=1/x, obtemos
f'(x)=1x

Passo 3

Agora derivamos h(x)=l(sen(pi x)r)^1/2 via regra da cadeia. Se u(x)=sen(pi x), então
h'(x)=12u(x)^-1/2cdot u'(x)
e como u'(x)=picos(pi x), temos
h'(x)=picos(pi x)2raizsen(pi x)

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra do produto g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x). Substituindo as derivadas e as funções:
g'(x)=1xraizsen(pi x)+ln x,picos(pi x)2raizsen(pi x)

Resposta

g'(x)=raizsen(pi x)x+piln x,cos(pi x)2raizsen(pi x)

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