Calcule as derivadas das funções:
y=(x+3)(x-1)(x-5)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função y=(x+3)(x-1)(x-5).
Informações dadas: a função y é o produto de três fatores lineares em x: x+3, x-1 e x-5. Não há outras restrições — x é variável real.

Passo 2

Decisão de método (sem tecnicismo): vamos primeiro expandir o produto para obter um polinômio em x e então derivar termo a termo. Isto costuma ser mais direto em prova porque a derivada de polinômios é simples de calcular sem fórmulas complicadas. Vou expandir passo a passo para você ver todas as contas.

Passo 3

Multiplico os dois primeiros fatores (x+3)(x-1). Faço a distributiva (cada termo do primeiro vezes cada termo do segundo):
(x+3)(x-1)=x\cdot x + x\cdot(-1) + 3\cdot x + 3\cdot(-1).
Calculando cada produto:
x\cdot x = x^2,\quad x\cdot(-1)=-x,\quad 3\cdot x=3x,\quad 3\cdot(-1)=-3.
Somando os termos semelhantes:
(x+3)(x-1)=x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3.

Passo 4

Agora multiplico o resultado pelo terceiro fator (x-5). Ou seja, calculo (x^2+2x-3)(x-5). Uso novamente a distributiva, multiplicando cada termo do primeiro polinômio por x e por -5:
(x^2+2x-3)(x-5)=x^2\cdot x + 2x\cdot x + (-3)\cdot x + x^2\cdot(-5) + 2x\cdot(-5) + (-3)\cdot(-5).
Agora calculo cada produto:
x^2\cdot x = x^3,\quad 2x\cdot x = 2x^2,\quad (-3)\cdot x = -3x,
x^2\cdot(-5) = -5x^2,\quad 2x\cdot(-5) = -10x,\quad (-3)\cdot(-5) = 15.
Agora somo os termos semelhantes:
  • Termo cúbico: x^3.
  • Termos em x^2: 2x^2 - 5x^2 = -3x^2.
  • Termos em x: -3x -10x = -13x.
  • Constante: 15.
Portanto
y = x^3 - 3x^2 - 13x + 15.

Passo 5

Agora vou explicar a regra que usarei para derivar este polinômio — é a mais básica e útil em prova:
  • Regra da potência (power rule): a derivada de \,x^n é \,n x^{n-1}. Ou seja, para qualquer expoente inteiro n, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2.
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem na frente. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)=a f'(x)+b g'(x).
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Com isso, posso derivar termo a termo o polinômio que obtivemos.

Passo 6

Derivo cada termo do polinômio y = x^3 - 3x^2 - 13x + 15:
  • Derivada de \,x^3 pelo power rule: \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2.
  • Derivada de -3x^2: a constante -3 permanece e aplico power rule: -3\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2) = -3\cdot 2x = -6x.
  • Derivada de -13x: é uma função linear, \dfrac{d}{dx}(-13x) = -13.
  • Derivada da constante 15 é 0.
Somando tudo pela linearidade:
y' = 3x^2 - 6x - 13 + 0.

Passo 7

Simplificando a soma, obtemos a derivada final:
y' = 3x^2 - 6x - 13.
Se quiser, dá para checar rápido: por exemplo em x=0, a derivada vale y'(0)= -13. Também é possível obter o mesmo resultado usando a regra do produto aplicada duas vezes, mas expandir e aplicar a regra da potência costuma ser mais direto em provas.

Resposta

y' = 3x^2 - 6x - 13

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