Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função
é o produto de três fatores lineares em
:
,
e
. Não há outras restrições —
é variável real.
Passo 2
Decisão de método (sem tecnicismo): vamos primeiro expandir o produto para obter um polinômio em
e então derivar termo a termo. Isto costuma ser mais direto em prova porque a derivada de polinômios é simples de calcular sem fórmulas complicadas. Vou expandir passo a passo para você ver todas as contas.
Passo 3
Multiplico os dois primeiros fatores
. Faço a distributiva (cada termo do primeiro vezes cada termo do segundo):
Calculando cada produto:
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora multiplico o resultado pelo terceiro fator
. Ou seja, calculo
. Uso novamente a distributiva, multiplicando cada termo do primeiro polinômio por
e por
:
Agora calculo cada produto:
Agora somo os termos semelhantes:
- Termo cúbico:
. - Termos em
: . - Termos em
: . - Constante:
.
Portanto
Passo 5
Agora vou explicar a regra que usarei para derivar este polinômio — é a mais básica e útil em prova:
- Regra da potência (power rule): a derivada de
é . Ou seja, para qualquer expoente inteiro , . Ex.: . - Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem na frente. Ou seja,
. - A derivada de uma constante é zero:
.
Com isso, posso derivar termo a termo o polinômio que obtivemos.
Passo 6
Derivo cada termo do polinômio
:
- Derivada de
pelo power rule: . - Derivada de
: a constante permanece e aplico power rule: . - Derivada de
: é uma função linear, . - Derivada da constante
é .
Somando tudo pela linearidade:
Passo 7
Simplificando a soma, obtemos a derivada final:
Se quiser, dá para checar rápido: por exemplo em
, a derivada vale
. Também é possível obter o mesmo resultado usando a regra do produto aplicada duas vezes, mas expandir e aplicar a regra da potência costuma ser mais direto em provas.