Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas (derivada primeira — e, para reforçar o aprendizado, vou também calcular a derivada segunda). A variável independente é
. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos começar pela derivada primeira. A função é uma composição em cadeia: a exponencial
aplicada a
. Quando temos uma composição
, a regra é que a derivada é
. Aqui definimos temporariamente
Então, pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora calculamos
. Novamente é uma composição:
com
. A derivada de
em relação a
é
. E a derivada de
é
. Usando a regra da cadeia outra vez:
Observação didática:
é a função recíproca do cosseno, ou seja
. Então
, se preferir ver assim.
Passo 4
Substituindo esse resultado em
temos a derivada primeira completa:
Esse é um bom ponto para memorizar: cada camada contribuiu com um fator (exponencial, tangente e seno).
Passo 5
Agora vamos à derivada segunda
. Partimos de
Para derivar, vou usar a estratégia de ver
como produto de duas partes:
e
. A regra do produto dá
Passo 6
Calculamos
. Já usamos antes: derivada de
é ele mesmo vezes a derivada do expoente, então
Logo o primeiro termo
fica
Passo 7
Agora calculamos
, onde
. Usamos a regra do produto em
:
Derivada de
é
. Para
aplicamos a cadeia: se
, então
(pois
, e derivando
aparece o fator
). Tomando
e multiplicando por
, obtemos
Passo 8
Substituindo em
:
Simplificando os termos:
Passo 9
Agora juntamos os termos do passo 6 e passo 8 na fórmula do passo 5:
Fatorando
e
, podemos escrever de forma mais compacta: