Calcule as derivadas das funções:
y=e^{\tan (\operatorname{sen} x)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{\tan(\sin x)}
e pede para calcular as derivadas (derivada primeira — e, para reforçar o aprendizado, vou também calcular a derivada segunda). A variável independente é x. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos começar pela derivada primeira. A função é uma composição em cadeia: a exponencial e^{(\cdot)} aplicada a \tan(\sin x). Quando temos uma composição y=e^{u(x)}, a regra é que a derivada é y' = e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui definimos temporariamente
u(x)=\tan(\sin x).
Então, pela regra da cadeia,
y' = e^{\tan(\sin x)}\cdot \frac{d}{dx}\big(\tan(\sin x)\big).

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\big(\tan(\sin x)\big). Novamente é uma composição: \tan(v) com v=\sin x. A derivada de \tan v em relação a v é \operatorname{sec}^2 v. E a derivada de v=\sin x é \cos x. Usando a regra da cadeia outra vez:
\frac{d}{dx}\big(\tan(\sin x)\big)=\operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot\cos x.
Observação didática: \operatorname{sec} t é a função recíproca do cosseno, ou seja \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Então \operatorname{sec}^2(\sin x)=\dfrac{1}{\cos^2(\sin x)}, se preferir ver assim.

Passo 4

Substituindo esse resultado em y' temos a derivada primeira completa:
y' = e^{\tan(\sin x)}\cdot \operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot \cos x.
Esse é um bom ponto para memorizar: cada camada contribuiu com um fator (exponencial, tangente e seno).

Passo 5

Agora vamos à derivada segunda y''. Partimos de
y' = e^{\tan(\sin x)}\cdot \operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot \cos x.
Para derivar, vou usar a estratégia de ver y' como produto de duas partes: A(x)=e^{\tan(\sin x)} e B(x)=\operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot\cos x. A regra do produto dá
y'' = A'(x)B(x) + A(x)B'(x).

Passo 6

Calculamos A'(x). Já usamos antes: derivada de e^{\tan(\sin x)} é ele mesmo vezes a derivada do expoente, então
A'(x)=e^{\tan(\sin x)}\cdot\operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot\cos x.
Logo o primeiro termo A'(x)B(x) fica
A'(x)B(x)=e^{\tan(\sin x)}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos x\big)\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos x\big) = e^{\tan(\sin x)}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos x\big)^2.

Passo 7

Agora calculamos B'(x), onde B(x)=\operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot\cos x. Usamos a regra do produto em B:
B'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\big)\cdot\cos x + \operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot\frac{d}{dx}(\cos x).
Derivada de \cos x é -\sin x. Para \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\big) aplicamos a cadeia: se w(u)=\operatorname{sec}^2(u), então w'(u)=2\operatorname{sec}^2(u)\tan(u) (pois \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u, e derivando (\operatorname{sec} u)^2 aparece o fator 2\operatorname{sec} u). Tomando u=\sin x e multiplicando por u'=\cos x, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\big)=2\operatorname{sec}^2(\sin x)\tan(\sin x)\cdot\cos x.

Passo 8

Substituindo em B'(x):
B'(x)=\big(2\operatorname{sec}^2(\sin x)\tan(\sin x)\cdot\cos x\big)\cdot\cos x + \operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot(-\sin x).
Simplificando os termos:
B'(x)=2\operatorname{sec}^2(\sin x)\tan(\sin x)\cos^2 x - \operatorname{sec}^2(\sin x)\sin x.

Passo 9

Agora juntamos os termos do passo 6 e passo 8 na fórmula do passo 5:
y'' = e^{\tan(\sin x)}\big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos x\big)^2 + e^{\tan(\sin x)}\big(2\operatorname{sec}^2(\sin x)\tan(\sin x)\cos^2 x - \operatorname{sec}^2(\sin x)\sin x\big).
Fatorando e^{\tan(\sin x)} e \operatorname{sec}^2(\sin x), podemos escrever de forma mais compacta:
y'' = e^{\tan(\sin x)}\operatorname{sec}^2(\sin x)\Big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos^2 x + 2\tan(\sin x)\cos^2 x - \sin x\Big).

Resposta

y' = e^{\tan(\sin x)}\cdot \operatorname{sec}^2(\sin x)\cdot \cos x
y'' = e^{\tan(\sin x)}\operatorname{sec}^2(\sin x)\Big(\operatorname{sec}^2(\sin x)\cos^2 x + 2\tan(\sin x)\cos^2 x - \sin x\Big)

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