Calcule as derivadas das funções:
y=\operatorname{sen}^{2}\left(\cos ^{2} x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informação do problema:
y=\operatorname{sen}^{2}\!\left(\cos^{2}x\right).
Pergunta: encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Observações úteis que extraí do enunciado: a função é uma composição de três “camadas” — a parte externa é uma potência ao quadrado, em seguida há a função seno, e por fim a parte interna é \cos^{2}x (o cosseno ao quadrado). Não resolvo nada ainda, só organizei o que foi dado.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra da cadeia (forma geral): se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função externa e g a interna; a fórmula diz: derivamos a externa mantendo a interna e multiplicamos pela derivada da interna. É a ideia de “derivar de fora para dentro, multiplicando pelas derivadas das camadas internas”.
  • Derivada da potência: se y=u^{2} onde u=u(x), então
\frac{dy}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}.
Significa: baixa o expoente e multiplica pela derivada do que está dentro.
  • Derivadas das funções trigonométricas básicas:
\frac{d}{du}\sin u=\cos u,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Ou seja: derivar \sin \cos; derivar \cos -\sin.
Vou aplicar essas regras em camadas, devagar.

Passo 3

Organização em variáveis auxiliares (isso facilita a aplicação da regra da cadeia):
v=\cos^{2}x,\qquad w=\sin v,\qquad y=w^{2}.
Explicando: v é a parte mais interna, w é o seno dessa parte interna, e y é o quadrado de w. Agora vamos derivar cada uma das relações em função da variável anterior.

Passo 4

Derivadas parciais/auxiliares:
  • Derivando y=w^{2} em relação a w:
\frac{dy}{dw}=2w.
  • Derivando w=\sin v em relação a v:
\frac{dw}{dv}=\cos v.
  • Derivando v=\cos^{2}x em relação a x: aplicar a regra da potência e a derivada de \cos x:
\frac{dv}{dx}=2\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x.
Observação didática: em \frac{d}{dx}(\cos^{2}x) tratamos \cos x como u e usamos d(u^2)/dx=2u\cdot u'.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as três derivadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dw}\cdot\frac{dw}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores (lembrando que w=\sin v e v=\cos^{2}x):
\frac{dy}{dx}= \bigl(2w\bigr)\cdot\bigl(\cos v\bigr)\cdot\bigl(-2\sin x\cos x\bigr).
Voltando às variáveis originais ( w=\sin v e v=\cos^{2}x):
\frac{dy}{dx}=2\sin(\cos^{2}x)\cdot\cos(\cos^{2}x)\cdot(-2\sin x\cos x).
Multiplicando os fatores numéricos:
\frac{dy}{dx}=-4\,\sin(\cos^{2}x)\cos(\cos^{2}x)\sin x\cos x.

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas para deixá-la mais compacta. Lembre-se das identidades:
2\sin a\cos a=\sin(2a).
Aplicando com a=\cos^{2}x e com a=x, temos 2\sin(\cos^{2}x)\cos(\cos^{2}x)=\sin\bigl(2\cos^{2}x\bigr) e 2\sin x\cos x=\sin(2x). Substituindo na expressão -4\sin(\cos^{2}x)\cos(\cos^{2}x)\sin x\cos x obtemos:
\frac{dy}{dx}=-\bigl(2\sin(\cos^{2}x)\cos(\cos^{2}x)\bigr)\cdot\bigl(2\sin x\cos x\bigr) = -\sin\bigl(2\cos^{2}x\bigr)\,\sin(2x).
Essa forma é mais curta e elegante:
\frac{dy}{dx}=-\sin\bigl(2\cos^{2}x\bigr)\,\sin(2x).

Resposta

-\sin\bigl(2\cos^{2}x\bigr)\,\sin(2x)

Exercícios relacionados