Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informação do problema:
Pergunta: encontrar
.
Observações úteis que extraí do enunciado: a função é uma composição de três “camadas” — a parte externa é uma potência ao quadrado, em seguida há a função seno, e por fim a parte interna é (o cosseno ao quadrado). Não resolvo nada ainda, só organizei o que foi dado.
Observações úteis que extraí do enunciado: a função é uma composição de três “camadas” — a parte externa é uma potência ao quadrado, em seguida há a função seno, e por fim a parte interna é
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra da cadeia (forma geral): se
, então
Aqui
é a função externa e
a interna; a fórmula diz: derivamos a externa mantendo a interna e multiplicamos pela derivada da interna. É a ideia de “derivar de fora para dentro, multiplicando pelas derivadas das camadas internas”.
- Derivada da potência: se
onde , então
Significa: baixa o expoente e multiplica pela derivada do que está dentro.
- Derivadas das funções trigonométricas básicas:
Ou seja: derivar
dá
; derivar
dá
.
Vou aplicar essas regras em camadas, devagar.
Passo 3
Organização em variáveis auxiliares (isso facilita a aplicação da regra da cadeia):
Explicando:
é a parte mais interna,
é o seno dessa parte interna, e
é o quadrado de
. Agora vamos derivar cada uma das relações em função da variável anterior.
Passo 4
Derivadas parciais/auxiliares:
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a : aplicar a regra da potência e a derivada de :
Observação didática: em
tratamos
como
e usamos
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as três derivadas:
Substituindo os resultados dos passos anteriores (lembrando que
e
):
Voltando às variáveis originais (
e
):
Multiplicando os fatores numéricos:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas para deixá-la mais compacta. Lembre-se das identidades:
Aplicando com
e com
, temos
e
. Substituindo na expressão
obtemos:
Essa forma é mais curta e elegante: