Calcule as derivadas das funções:
y=\arctan \left(\frac{2}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\arctan\!\left(\frac{2}{x}\right).
Informações e pedidos claros:
  • Função dada: y=\arctan\!\left(\dfrac{2}{x}\right).
  • Objetivo: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Observação importante: a função está definida para x\neq 0 (pois aparece \dfrac{2}{x}).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia e da derivada de \arctan):
  • Se y=\arctan(u(x)), então, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}.
  • Por que isso vale? Primeiro lembramos a derivada de \arctan t em relação a t. Defina y=\arctan t. Então \tan y=t. Derivando ambos os lados em relação a t (diferença entre derivar em relação a t e em relação a x; aqui fazemos dy/dt):
\operatorname{sec}^2 y\cdot\frac{dy}{dt}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
Como \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y e \tan y=t, obtemos
\frac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\frac{1}{1+t^2}.
  • Agora, se t=u(x), pela regra da cadeia \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dt}(\arctan t)\big|_{t=u(x)}\cdot u'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u(x)^2}. Pronto — essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Identificar a função interior u(x) e calcular u'(x):
  • Aqui a função interior é
u(x)=\frac{2}{x}.
  • Reescrevendo para derivar com a regra de potência:
u(x)=2x^{-1}.
  • Derivando u(x) usando a regra de potência ( \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}):
u'(x)=2\cdot(-1)x^{-2}=-2x^{-2}=-\frac{2}{x^2}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia e simplificar passo a passo:
  • Pela fórmula do Passo 2,
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}=\frac{-\dfrac{2}{x^2}}{1+\left(\dfrac{2}{x}\right)^2}.
  • Calcule o quadrado e escreva o denominador com denominador comum:
1+\left(\dfrac{2}{x}\right)^2=1+\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2+4}{x^2}.
  • Substituindo na fração:
\frac{dy}{dx}=\frac{-\dfrac{2}{x^2}}{\dfrac{x^2+4}{x^2}}.
  • Dividir frações equivale a multiplicar pelo inverso; simplificando os fatores \dfrac{1}{x^2}:
\frac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{x^2}\cdot\frac{x^2}{x^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}.
  • Observação sobre o domínio: a simplificação usou multiplicação por x^2, válida para x\neq 0, que é consistente com a definição original da função.

Passo 5

Interpretação final e cheque rápido:
  • Resultado final simples e elegante:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x^2+4}.
  • Cheque rápido por unidade algébrica: o denominador x^2+4 é sempre positivo, conforme esperado para a derivada de uma arco-tangente composta (não há singularidade além de x=0, que já excluímos).

Resposta

-\frac{2}{x^2+4}

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