Observação importante: a função está definida para x\neq 0 (pois aparece \dfrac{2}{x}).
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia e da derivada de \arctan):
Se y=\arctan(u(x)), então, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}.
Por que isso vale? Primeiro lembramos a derivada de \arctan t em relação a t. Defina y=\arctan t. Então \tan y=t. Derivando ambos os lados em relação a t (diferença entre derivar em relação a t e em relação a x; aqui fazemos dy/dt):
Como \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y e \tan y=t, obtemos
\frac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\frac{1}{1+t^2}.
Agora, se t=u(x), pela regra da cadeia \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dt}(\arctan t)\big|_{t=u(x)}\cdot u'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u(x)^2}. Pronto — essa é a fórmula que vamos aplicar.
Passo 3
Identificar a função interior u(x) e calcular u'(x):
Aqui a função interior é
u(x)=\frac{2}{x}.
Reescrevendo para derivar com a regra de potência:
u(x)=2x^{-1}.
Derivando u(x) usando a regra de potência (\dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}):
u'(x)=2\cdot(-1)x^{-2}=-2x^{-2}=-\frac{2}{x^2}.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia e simplificar passo a passo:
Observação sobre o domínio: a simplificação usou multiplicação por x^2, válida para x\neq 0, que é consistente com a definição original da função.
Passo 5
Interpretação final e cheque rápido:
Resultado final simples e elegante:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x^2+4}.
Cheque rápido por unidade algébrica: o denominador x^2+4 é sempre positivo, conforme esperado para a derivada de uma arco-tangente composta (não há singularidade além de x=0, que já excluímos).