Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{e^{x^{2}}+x}{\cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\frac{e^{x^{2}}+x}{\cos(2x)}.
Informações dadas:
\text{Numerador: } e^{x^{2}}+x.
\text{Denominador: } \cos(2x).
Pergunta: Calcular y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: é mais simples trabalhar escrevendo a função como produto em vez de quociente. Usamos a identidade \operatorname{sec} u = \dfrac{1}{\cos u}. Assim reescrevemos
y = \bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\cdot \operatorname{sec}(2x).
Isso nos permite aplicar a regra do produto (que é mais direta aqui) em vez da regra do quociente.

Passo 3

Relembrando a regra do produto: se y=u(x)\,v(x), então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Vamos aplicar com
u(x)=e^{x^{2}}+x\quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{sec}(2x).

Passo 4

Calculamos u'(x). Derivada termo a termo:
  • Derivada de x é 1.
  • Para \,e^{x^{2}}\, usamos a regra da cadeia: se w(x)=e^{g(x)} então w'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=x^{2} e g'(x)=2x. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=2x\,e^{x^{2}}.
Portanto
u'(x)=2x\,e^{x^{2}}+1.

Passo 5

Agora v(x)=\operatorname{sec}(2x). Precisamos de v'(x).
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} t\bigr)=\operatorname{sec} t\tan t\cdot t' (regra da cadeia aplicada a \operatorname{sec}).
    Aqui t(x)=2x e t'(x)=2. Logo
v'(x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 2\,\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
y' = \bigl(2x\,e^{x^{2}}+1\bigr)\operatorname{sec}(2x) + \bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\cdot 2\,\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).

Passo 7

Podemos deixar a expressão mais organizada factorizando \operatorname{sec}(2x):
y'=\operatorname{sec}(2x)\Bigl(2x\,e^{x^{2}}+1 + 2\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\tan(2x)\Bigr).
Essa forma é clara e mostra os termos separados.

Passo 8

Se preferir uma forma como quociente em termos de \cos(2x), usamos \operatorname{sec}(2x)=\dfrac{1}{\cos(2x)} e \operatorname{sec}(2x)\tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}. Colocando em denominador comum \cos^{2}(2x) obtemos:
y'=\frac{\bigl(2x\,e^{x^{2}}+1\bigr)\cos(2x) + 2\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}.
Essa forma é útil se você quiser expressar a derivada como uma única fração.

Resposta

y'=\frac{\bigl(2x\,e^{x^{2}}+1\bigr)\cos(2x) + 2\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}.

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