Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
(x ln y) y^prime=y
R. (ln y)^2=2 ln |x|+C

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial pelo método de separação de variáveis: (xln y),y'=y. Conteúdo: equações diferenciais de variáveis separáveis; vamos precisar isolar dydx e colocar todas as ocorrências de y num lado e de x no outro.

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivada: a equação original é (xln y),dydx=y. Dividindo ambos os lados por xln y, obtemos dydx=yxln y.

Passo 3

Para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por ln yy,dx, ficando: ln yy,dy=1x,dx. Agora todas as funções de y estão no lado esquerdo e as de x no lado direito.

Passo 4

Integramos cada lado:
integral ln yy,dy = integral 1x,dx

Passo 5

Na integral da esquerda, fazemos a substituição t=ln y, o que implica dt=dyy. Assim,
integral ln yy,dy = integral t,dt = t^22 + C1
e a da direita é ln|x| + C2.

Passo 6

Voltando à variável original e juntando as constantes, temos
(ln y)^22 = ln|x| + C
Multiplicando por 2 e redefinindo a constante, a solução implícita fica pronta.

Resposta

(\ln y)^2 = 2 \ln|x| + C

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