Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a base é a constante
e o expoente é a função
. A pergunta é: qual é
(a derivada de
em relação a
)?
Passo 2
Vou apresentar uma fórmula que usamos direto aqui e explicar por quê: se temos uma função da forma
, onde
é constante e
é uma função diferenciável, então
Por que essa fórmula vale? Explico passo a passo: comece tomando logaritmo natural em ambos os lados,
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. A derivada de
é
(porque
), e a derivada do lado direito é
. Então
Multiplicando por
obtemos
que é a fórmula usada. Aqui
é o logaritmo natural (base
) e
é a derivada da função interna
.
Passo 3
No nosso caso a função interna (o expoente) é
Então devemos calcular
, a derivada de
.
Passo 4
Derivando
usando a regra de potência (se
, então
), temos
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com
,
e
. Assim
Podemos organizar os fatores para ficar mais claro:
Passo 6
Como verificação alternativa (útil para fixar): escrevemos
. Derivando
pela regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
e
. Logo
mesmo resultado — bom sinal!
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre que tiver
, pense em usar a fórmula com
ou passar para
. E não esqueça da regra da cadeia: multiplica sempre pela derivada do expoente. Respira fundo — você consegue!