Calcule as derivadas das funções:
y=2^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = 2^{x^{2}}.
Informações dadas: a base é a constante 2 e o expoente é a função x^{2}. A pergunta é: qual é \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x)?

Passo 2

Vou apresentar uma fórmula que usamos direto aqui e explicar por quê: se temos uma função da forma y = a^{u(x)}, onde a>0 é constante e u(x) é uma função diferenciável, então
y' = a^{u(x)} \cdot \ln(a)\cdot u'(x).
Por que essa fórmula vale? Explico passo a passo: comece tomando logaritmo natural em ambos os lados,
\ln y = u(x)\ln a.
Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. A derivada de \ln y é \dfrac{y'}{y} (porque \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}y'), e a derivada do lado direito é u'(x)\ln a. Então
\dfrac{y'}{y} = u'(x)\ln a.
Multiplicando por y obtemos
y' = y\cdot u'(x)\ln a = a^{u(x)}\cdot u'(x)\ln a,
que é a fórmula usada. Aqui \ln é o logaritmo natural (base e) e u'(x) é a derivada da função interna u(x).

Passo 3

No nosso caso a função interna (o expoente) é
u(x)=x^{2}.
Então devemos calcular u'(x), a derivada de x^{2}.

Passo 4

Derivando u(x)=x^{2} usando a regra de potência (se u(x)=x^{n}, então u'(x)=n x^{n-1}), temos
u'(x)=2x.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com a=2, u(x)=x^{2} e u'(x)=2x. Assim
y' = 2^{x^{2}}\cdot \ln 2 \cdot 2x.
Podemos organizar os fatores para ficar mais claro:
y' = 2x\ln 2 \cdot 2^{x^{2}}.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil para fixar): escrevemos 2^{x^{2}} = e^{x^{2}\ln 2}. Derivando y=e^{x^{2}\ln 2} pela regra da cadeia: a derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}\cdot v'(x). Aqui v(x)=x^{2}\ln 2 e v'(x)=2x\ln 2. Logo
y' = e^{x^{2}\ln 2}\cdot 2x\ln 2 = 2^{x^{2}}\cdot 2x\ln 2,
mesmo resultado — bom sinal!

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre que tiver a^{(\text{algo em }x)}, pense em usar a fórmula com \ln a ou passar para e^{(\cdot)}. E não esqueça da regra da cadeia: multiplica sempre pela derivada do expoente. Respira fundo — você consegue!

Resposta

y' = 2^{x^{2}}\cdot 2x\ln 2

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