Determine o ponto da curva y=\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}+x+2 onde a reta tangente passando por esse ponto intersecta a origem.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\frac{1}{2}x^{3}+x^{2}+x+2 e pede o(s) ponto(s) dessa curva tal que a reta tangente no ponto interseca a origem (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função }f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+x^{2}+x+2.çã
\text{Procuramos }a\in\mathbb{R}\text{ tais que a reta tangente em }(a,f(a))\text{ passe por }(0,0).

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada f'(x) (a inclinação da reta tangente em cada ponto). Vou explicar a regra que uso: a regra do poder diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a de uma constante é zero. Aplicando termo a termo:
f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+x^{2}+x+2.
Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot 3x^{2}=\frac{3}{2}x^{2},
\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1,\qquad \frac{d}{dx}(2)=0.
Somando:
f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2x+1.

Passo 3

Equação da reta tangente à curva no ponto (a,f(a)) é dada por:
y-f(a)=f'(a)\bigl(x-a\bigr).
Para que essa reta passe pela origem (0,0) substituímos x=0 e y=0 na equação da reta:
0-f(a)=f'(a)\bigl(0-a\bigr).
Isto simplifica para
-f(a)=-a\,f'(a).
Multiplicando por -1 obtemos a condição simples e útil
f(a)=a\,f'(a).
Essa é a equação que a deve satisfazer.

Passo 4

Agora substituímos as expressões de f(a) e f'(a) na condição f(a)=a\,f'(a).
Escrevendo cada lado:
f(a)=\frac{1}{2}a^{3}+a^{2}+a+2,
a\,f'(a)=a\left(\frac{3}{2}a^{2}+2a+1\right)=\frac{3}{2}a^{3}+2a^{2}+a.
Igualando e movendo tudo para um lado:
\frac{1}{2}a^{3}+a^{2}+a+2-\left(\frac{3}{2}a^{3}+2a^{2}+a\right)=0.
Agrupando termos semelhantes (faço passo a passo):
\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)a^{3}+(1-2)a^{2}+(1-1)a+2=0.
Calculando os coeficientes:
-1\cdot a^{3}-1\cdot a^{2}+0\cdot a+2=0,
ou seja
-a^{3}-a^{2}+2=0.
Multiplicando por -1:
a^{3}+a^{2}-2=0.
Agora resolvemos esse polinômio. Testamos raízes racionais simples: para a=1 temos 1+1-2=0, logo a=1 é raiz. Fazemos a fatoração:
a^{3}+a^{2}-2=(a-1)(a^{2}+2a+2).
Cálculo rápido para verificar: (a-1)(a^{2}+2a+2)=a^{3}+a^{2}-2, conferido.
A equação fica então
(a-1)(a^{2}+2a+2)=0.
As raízes são a=1 ou as raízes da quadrática a^{2}+2a+2=0. A quadrática tem discriminante
\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0,
portanto suas raízes são complexas. Assim, a única solução real é
a=1.

Passo 5

Encontramos a=1. Agora calculamos a ordenada correspondente y=f(1) e verificamos a reta tangente.
Calcule f(1):
f(1)=\frac{1}{2}\cdot 1^{3}+1^{2}+1+2=\frac{1}{2}+1+1+2=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}.
Calculamos também a inclinação da tangente em 1:
f'(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2}+2\cdot 1+1=\frac{3}{2}+2+1=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}.
A equação da reta tangente em (1,\tfrac{9}{2}) é
y-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\bigl(x-1\bigr).
Expandindo ou resolvendo para y obtemos
y=\frac{9}{2}x,
que claramente passa pela origem. Assim a verificação está completa: o ponto (1,\tfrac{9}{2}) satisfaz a condição desejada.

Passo 6

Conclusão bem tranquila: há exatamente um ponto real da curva cuja tangente passa pela origem, e é (1,\tfrac{9}{2}). Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema tem passos sistemáticos: derivar, escrever a equação da reta tangente, impor que ela passe pelo ponto pedido e resolver a equação resultante.

Resposta

\left(1,\dfrac{9}{2}\right)

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