Determine o ponto da curva
onde a reta tangente passando por esse ponto intersecta a origem.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede o(s) ponto(s) dessa curva tal que a reta tangente no ponto interseca a origem
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada
(a inclinação da reta tangente em cada ponto). Vou explicar a regra que uso: a regra do poder diz que a derivada de
é
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a de uma constante é zero. Aplicando termo a termo:
Derivando cada termo:
Somando:
Passo 3
Equação da reta tangente à curva no ponto
é dada por:
Para que essa reta passe pela origem
substituímos
e
na equação da reta:
Isto simplifica para
Multiplicando por
obtemos a condição simples e útil
Essa é a equação que
deve satisfazer.
Passo 4
Agora substituímos as expressões de
e
na condição
.
Escrevendo cada lado:
Igualando e movendo tudo para um lado:
Agrupando termos semelhantes (faço passo a passo):
Calculando os coeficientes:
ou seja
Multiplicando por
:
Agora resolvemos esse polinômio. Testamos raízes racionais simples: para
temos
, logo
é raiz. Fazemos a fatoração:
Cálculo rápido para verificar:
, conferido.
A equação fica então
As raízes são
ou as raízes da quadrática
. A quadrática tem discriminante
portanto suas raízes são complexas. Assim, a única solução real é
Passo 5
Encontramos
. Agora calculamos a ordenada correspondente
e verificamos a reta tangente.
Calcule
:
Calculamos também a inclinação da tangente em
:
A equação da reta tangente em
é
Expandindo ou resolvendo para
obtemos
que claramente passa pela origem. Assim a verificação está completa: o ponto
satisfaz a condição desejada.
Passo 6
Conclusão bem tranquila: há exatamente um ponto real da curva cuja tangente passa pela origem, e é
. Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema tem passos sistemáticos: derivar, escrever a equação da reta tangente, impor que ela passe pelo ponto pedido e resolver a equação resultante.