Calcule as derivadas das funções:
y=2 x^{3}-3 x^{2}+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = 2x^{3} - 3x^{2} + 5.
Informações dadas: é um polinômio de grau 3 com três termos: 2x^{3}, -3x^{2} e 5. A tarefa é encontrar y' (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se y = f(x)+g(x) então
y' = f'(x) + g'(x).
Isto permite derivar termo a termo em um polinômio.
  • Regra da potência (power rule): se f(x)=x^{n} com n um número real, então
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Para um termo com coeficiente, a x^{n}, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1},
porque o coeficiente a sai multiplicando.
  • Derivada de constante: se c é constante, então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Porque constantes não mudam quando x varia (slope zero).
Exemplo rápido de uso da regra da potência: se f(x)=x^{3} então f'(x)=3x^{2}. Se g(x)=4x^{3} então g'(x)=4\cdot 3 x^{2}=12x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo: derive o primeiro termo 2x^{3}.
Usando \frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1} com a=2 e n=3, temos
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot 3 x^{3-1}=6x^{2}.

Passo 4

Agora derive o segundo termo -3x^{2}.
Aqui a=-3 e n=2. Aplicando a mesma fórmula,
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)=-3\cdot 2 x^{2-1}=-6x.

Passo 5

Derive o terceiro termo, a constante 5.
Pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}(5)=0.

Passo 6

Juntando os resultados (pela linearidade, somamos as derivadas dos termos):
y' = 6x^{2} - 6x + 0.
Simplificando,
y' = 6x^{2} - 6x.

Passo 7

Podemos também fatorar a expressão para ficar mais enxuta. Colocando 6x em evidência:
y' = 6x(x-1).
Dica rápida para a prova: reconheça polinômios e aplique a regra da potência em cada termo; é rápido e não precisa de calculadora.

Resposta

y' = 6x^{2} - 6x
y' = 6x(x-1)

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