Calcule as derivadas das funções:
y=(1-5 x)^15

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ y = (1 - 5x)^{\frac{1}{5}} $. Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do poder. Precisamos identificar como aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, neste caso, $ x $. Para funções do tipo $ y = u^n $, onde $ u $ é uma função de $ x $ e $ n $ é um expoente, usamos a regra do poder combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

A regra do poder nos diz que se $ y = u^n $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = u^n
No nosso caso, $ u = 1 - 5x $ e $ n = \frac{1}{5} $. Então, precisamos primeiro derivar $ u $ em relação a $ x $.

Passo 4

Calculando $ \frac{du}{dx} $:
dudx
Agora, aplicando a regra do poder:
dudx = ddx(1 - 5x) = -5
Simplificando o expoente:
dydx = 15 cdot (1 - 5x)^15 - 1 cdot (-5)
Então:
15 - 1 = -45

Resposta

A derivada da função $ y = (1 - 5x)^{\frac{1}{5}} $ é:
y = (1 - 5x)^15

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