Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^3 4(x-6)^3 d x

Passo 1

Vamos integrar integral0^3 4(x-6)^3,dx. O conteúdo é integral de funções de potência e análise de convergência de integrais impróprias (aqui, porém, a função é contínua no intervalo). Para resolver, precisamos achar a primitiva e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Verificamos que f(x)=4(x-6)^3 é contínua em [0,3] porque x-6 nunca zera nesse intervalo. Então a integral é própria e, portanto, converge.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada de f(x), usamos a regra de potência. Como f(x)=4,(x-6)^-3, temos:
integral 4(x-6)^3,dx = 4integral (x-6)^-3,dx = 4cdot (x-6)^-2-2 = -2,(x-6)^-2

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva -2/(x-6)^2 entre 0 e 3 e simplificamos:
[-2(x-6)^2]0^3 = -2(3-6)^2 - l(-2(0-6)^2r) = -29 + 236 = -16

Resposta

Convergente, com valor -tfrac16.

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