Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-infty^infty x^3 e^-x d x

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria integral-infty^infty x^3 e^-x ,dx, que cai no tema de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar estudar o comportamento do integrando nos dois limites infinities.

Passo 2

Dividimos a integral em duas partes para tratar separadamente os comportamentos em -infty e em +infty:
integral-infty^infty x^3 e^-x ,dx = integral-infty^0 x^3 e^-x ,dx + integral0^infty x^3 e^-x ,dx

Passo 3

Analisando integral0^infty x^3 e^-x ,dx: aqui o fator exponencial e^-x decai rapidamente, dominando o crescimento polinomial x^3. De fato, essa integral é a definição da função Gamma: Gamma(4)=integral0^infty x^3 e^-x ,dx=3!=6. Logo essa parte converge.

Passo 4

Agora olhamos integral-infty^0 x^3 e^-x ,dx. Quando xto -infty, temos e^-x=e^|x| que cresce exponencialmente, enquanto x^3 cresce só polinomialmente em módulo. O produto x^3e^-x diverge como pminfty, fazendo com que essa integral não tenha limite finito. Portanto ela diverge.

Passo 5

Como a segunda parte diverge, a integral total integral-infty^infty x^3e^-x,dx também diverge, mesmo que a parte de +infty seja convergente.

Resposta

A integral é divergente.

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