Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Estamos analisando a integral imprópria
, que cai no tema de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar estudar o comportamento do integrando nos dois limites infinities.
Passo 2
Dividimos a integral em duas partes para tratar separadamente os comportamentos em
e em
:
Passo 3
Analisando
: aqui o fator exponencial
decai rapidamente, dominando o crescimento polinomial
. De fato, essa integral é a definição da função Gamma:
. Logo essa parte converge.
Passo 4
Agora olhamos
. Quando
, temos
que cresce exponencialmente, enquanto
cresce só polinomialmente em módulo. O produto
diverge como
, fazendo com que essa integral não tenha limite finito. Portanto ela diverge.
Passo 5
Como a segunda parte diverge, a integral total
também diverge, mesmo que a parte de
seja convergente.
Resposta
A integral é divergente.