No desenvolvimento de (2 x+b)^5, com b neq 0 o coeficiente numérico do termo em x^4 é oito vezes aquele do termo x^3. Calcule b. R b=1 / 8

Passo 1

O enunciado pede para descobrir o valor de b em que, na expansão de (2x + b)^5, o coeficiente do termo x^4 seja 8 vezes o coeficiente do termo x^3. Vamos usar o Teorema Binomial para obter essas informações.

Passo 2

Pela Teorema Binomial, o termo geral da expansão de (2x + b)^5 é dado por
Tk = binom5k (2x)^5-k b^k,
onde k = 0,1,2,3,4,5. Nesse termo, o grau em x é 5-k.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente de x^4, igualamos 5 - k = 4, ou seja, k = 1. Assim:
coeficiente de x^4 = binom51 cdot 2^4 cdot b^1 = 5 cdot 16 cdot b = 80b

Passo 4

Para o coeficiente de x^3, igualamos 5 - k = 3, ou seja, k = 2. Assim:
coeficiente de x^3 = binom52 cdot 2^3 cdot b^2 = 10 cdot 8 cdot b^2 = 80b^2

Passo 5

O enunciado diz que o coeficiente de x^4 é 8 vezes o de x^3. Logo:
80b = 8 times (80b^2)
Dividindo ambos os lados por 80b (e lembrando que bneq0):
1 = 8b
Portanto,

Passo 6

Resolvendo para b obtemos:
b = 18

Resposta

b = \frac{1}{8}

Exercícios relacionados