Calcule as derivadas das funções:
y=e^x^2+3

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função $ y = e{x{2} + 3} $. Isso envolve o estudo de derivadas em cálculo, especificamente utilizando a regra da cadeia. Para resolver, precisaremos entender como diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função. Temos a função exponencial $ e^{u} $, onde $ u = x^{2} + 3 $. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ e^{u} $ é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos começar diferenciando a função externa $ e^{u} $ em relação a $ u $. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $. Então, temos:
e^u

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a função interna $ u = x^{2} + 3 $ em relação a $ x $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de uma constante como $ 3 $ é $ 0 $. Portanto:
u = x^2 + 3

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dydx = dydu cdot dudx = e^u cdot 2x

Passo 6

Por fim, substituímos $ u $ de volta na expressão para termos a derivada em termos de $ x $:
u

Resposta

A derivada da função $ y = e{x{2} + 3} $ é:
y = e^x^2 + 3

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