Calcule as derivadas laterais nos possíveis pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
f(x)=|x-3|

Passo 1

O enunciado pede as derivadas laterais nos pontos onde f não é derivável. A função é
f(x)=|x-3|
Conteúdo: derivada de funções definidas por partes e pontos de “canto” (não deriváveis). Vamos identificar onde o módulo muda de expressão e calcular as derivadas nesses lados.

Passo 2

Para x<3 temos
|x-3|=-(x-3)=3-x
Essa é uma reta, logo sua derivada é constante:
f'(x)=ddx(3-x)=-1para x<3
Em particular, a derivada lateral à esquerda em x=3 é
f'-(3)=-1

Passo 3

Para x>3 temos
|x-3|=x-3
Também é uma reta, cuja derivada é
f'(x)=ddx(x-3)=1para x>3
Logo a derivada lateral à direita em x=3 é
f'+(3)=1

Passo 4

Como f'-(3)=-1neq1=f'+(3), f não é derivável em x=3. O gráfico é o “V” de vértice em (3,0), com ramo à esquerda de inclinação -1 e ramo à direita de inclinação 1:
Para x<3:;f(x)=3-x, Para x>3:;f(x)=x-3

Resposta

f'-(3)=-1, f'+(3)=1
Gráfico: V com vértice em (3,0), slopes -1 (esquerda) e 1 (direita).

Exercícios relacionados