Exercício 16. Determine se f é injetora.
t^3+4;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
fcolon RtoR, f(t)=t^3+4
é injetora. O conteúdo aqui é definição de injeção em funções reais e podemos usar um argumento algébrico direto (ou notar que f'(t)=3t^2>=0, logo f é estritamente crescente).

Passo 2

Lembrando a definição, f é injetora se, e somente se, sempre que
f(t1)=f(t2)
então necessariamente t1=t2.

Passo 3

Suponha que existam t1,t2inR tais que
f(t1)=f(t2)
Pela definição de f, isso significa
t1^3+4 = t2^3+4

Passo 4

Subtraindo 4 de ambos os lados, obtemos
t1^3 = t2^3
Como a função g(x)=x^3 é bijetora em R (ou seja, seu único cubo igual implica igualdade dos argumentos), concluímos
t1 = t2

Passo 5

Como a hipótese f(t1)=f(t2) sempre leva a t1=t2, mostramos que f é injetora.

Resposta

A função f(t)=t^3+4 é injetora.

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