Utilize o método da Variação dos Parâmetros para resolver os PVI a seguir.
y^prime prime+y=t g t, t in(0, pi2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não–homogênea de segunda ordem \r
y'' + y = t,tan t, tinl(0,tfracpi2r) \r
usando o método de variação de parâmetros. \r
O conteúdo envolvido é solução geral de EDO linear com coeficientes constantes e força f(t)=ttan t. A ideia é primeiro achar a solução complementar yc da homogênea e depois uma solução particular yp por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea \r
y'' + y = 0 \r
montamos a equação característica \r
r^2 + 1 = 0;Longrightarrow;r = pm i, \r
logo as duas soluções lineares independentes são \r
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t \r
A solução complementar geral é \r
yc(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do wronskiano de y1,y2: \r
W(t) = cos t & sin t -sin t & cos t = cos^2t + sin^2t = 1

Passo 4

As fórmulas da variação de parâmetros dão \r
yp(t) =-y1(t)integral y2(s),f(s)W(s),ds + y2(t)integral y1(s),f(s)W(s),ds \r
Aqui f(s)=stan s e W(s)=1, de modo que\r
yp(t) =-cos tintegral l[sin s,(stan s)r],ds +sin tintegral l[cos s,(stan s)r],ds

Passo 5

Calculemos os integrandos:\r
sin s,(stan s) = s,sin^2scos s e cos s,(stan s) = s,sin s \r
Portanto\r
I1(t)=integral s,sin^2scos s,ds, I2(t)=integral s,sin s,ds

Passo 6

As integrais I2 e parte de I1 são elementares: \r
I2(t) =integral ssin s,ds =-scos s +sin s + K2,
integral scos s,ds = ssin s +cos s + K \r
Para I1 escrevemos sin^2s=1-cos^2s e separamos:\r
I1(t) =integral ssec s,ds -integral scos s,ds \r
O termo integral scos s,ds já temos; integral ssec s,ds pode ficar expresso em forma de integral ou, se preferir, por partes:\r
integral ssec s,ds = slnl|sec s+tan sr| -integral lnl|sec s+tan sr],ds

Passo 7

Escolhendo constantes de integração K1,K2 de modo a absorvê-las em C1,C2, obtemos \r
yp(t) =-cos t;I1(t) +sin t;I2(t) \r
Substituindo as expressões encontradas,\r
yp(t) =-cos tl[integral^t!ssec s,ds-l(tsin t+cos tr)r] +sin tl[-tcos t+sin tr] \r
Combinando termos é possível mostrar que\r
yp(t) =1-cos t-cos tintegral0^t ssec s,ds

Passo 8

Finalmente, a solução geral da EDO não-homogênea é
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t + 1 - cos t - cos t integral0^t s sec s , ds

Resposta

boxed y(t) =C1cos t + C2sin t +1-cos t -cos tintegral0^tssec s,ds, tinl(0,tfracpi2r)

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