Exercício 3) Mostre, usando a definição, que a função f(x, y)=x^2 y é diferenciável no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede mostrar, via definição de diferenciabilidade para funções de R^2 em R, que a função f(x,y)=x^2y é diferenciável no ponto (1,2). Para isso, precisamos calcular o diferencial linear em (1,2) e verificar que o resto
r(h,k)=f(1+h,2+k)-f(1,2)-L(h,k)
é o(|(h,k)|) quando (h,k)to(0,0).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (1,2):
fx(x,y)=2xy, logo fx(1,2)=2cdot1cdot2=4.
fy(x,y)=x^2, logo fy(1,2)=1^2=1.
O diferencial linear é
L(h,k)=4h + 1cdot k

Passo 3

Expandindo
f(1+h,2+k)=(1+h)^2(2+k) =2 + 4h + 2h^2 + k + 2hk + h^2k,
e como f(1,2)=1^2cdot2=2, obtemos
f(1+h,2+k)-f(1,2)=4h + k + 2h^2 + 2hk + h^2k
Subtraindo L(h,k)=4h+k define-se o resto
r(h,k)=2h^2 + 2hk + h^2k

Passo 4

Para estimar r(h,k) note que |(h,k)|=raizh^2+k^2 e |h|<=|(h,k)|, |k|<=|(h,k)|. Assim
|r(h,k)|<= 2|h|^2 + 2|h||k| + |h|^2|k| <= 2|(h,k)|^2 + 2|(h,k)|^2 + |(h,k)|^3 =4|(h,k)|^2 + |(h,k)|^3
Logo
|r(h,k)||(h,k)|<= 4|(h,k)| + |(h,k)|^2 to 0 quando (h,k)to(0,0)

Passo 5

Como o resto r(h,k) satisfaz r(h,k)|(h,k)|to0, a definição de diferenciabilidade em (1,2) está satisfeita.

Resposta

A função f(x,y)=x^2y é diferenciável no ponto (1,2).

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