Exercício 3) Mostre, usando a definição, que a função
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede mostrar, via definição de diferenciabilidade para funções de
em
, que a função
é diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos calcular o diferencial linear em
e verificar que o resto
é quando
.
é
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em
:
, logo
.
, logo
.
O diferencial linear é
O diferencial linear é
Passo 3
Expandindo
e como
, obtemos
Subtraindo
define-se o resto
Passo 4
Para estimar
note que
e
,
. Assim
Logo
Passo 5
Como o resto
satisfaz
, a definição de diferenciabilidade em
está satisfeita.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.