Calcule as derivadas
P(x)=e^x * sin xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
P(x)=e^xsin xx^2+1
O conteúdo envolve usar a regra do produto para derivar e^xsin x e a regra do quociente para dividir pelo denominador x^2+1.

Passo 2

Definimos
f(x)=e^xsin x
e calculamos f'(x) pela regra do produto: derivada de e^x é e^x e de sin x é cos x. Logo,
f'(x)=e^xsin x + e^xcos x =e^x(sin x + cos x)

Passo 3

Definimos
g(x)=x^2+1
e calculamos g'(x): derivada de x^2 é 2x e de 1 é 0. Então
g'(x)=2x

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente: se P(x)=dfracf(x)g(x) então
P'(x) =f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]^2
Substituindo f, f', g e g':
P'(x) =e^x(sin x+cos x),(x^2+1);-;e^xsin xcdot 2x(x^2+1)^2

Passo 5

Fatorando e^x no numerador e organizando os termos, ficamos com
P'(x) =e^xl[(x^2+1)(sin x+cos x)-2xsin xr](x^2+1)^2

Resposta

P'(x) =e^xl[(x^2+1)(sin x+cos x)-2xsin xr](x^2+1)^2

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