Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
b(x, y)=\left(7 x-3 y{2}\right){8}
b(x, y)=\left(7 x-3 y{2}\right){8}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função
, ou seja, e . - Determinar o domínio da função
e o domínio das derivadas parciais encontradas.
As informações dadas são apenas a expressão da função
.
Passo 2
Estratégia (sem fazer conta ainda): usar a regra da cadeia para funções compostas. A ideia é ver
como composição de uma função interna
e uma função externa
, onde:
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da função interna
.
Derivada parcial em relação a
:
porque
deriva para
e
é constante em
.
Derivada parcial em relação a
:
pois
é constante em
e
.
Passo 4
Calcular a derivada da função externa
. Pela regra de potência,
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando
com
e
.
Para
:
Substituindo
,
Para
:
Substituindo
,
Passo 6
Simplificar os coeficientes numéricos:
Para
:
logo
Para
:
logo
Passo 7
Determinar os domínios.
A expressão interna
é um polinômio em
e está bem definida para todo par
. Elevações a potências inteiras não causam problemas aqui. Portanto o domínio da função
é
As derivadas parciais que encontramos são expressões polinomiais multiplicadas por potências de
; também estão definidas para todo
. Logo o domínio das derivadas parciais é também
.
Observação encorajadora: como tudo aqui é composto por polinômios e potências inteiras,
é infinitamente diferenciável (classe
) em todo
.
Resposta
Domínio de
Domínio das derivadas parciais: