Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
b(x, y)=\left(7 x-3 y{2}\right){8}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função b(x,y)=\left(7x-3y^{2}\right)^{8}, ou seja, \dfrac{\partial b}{\partial x} e \dfrac{\partial b}{\partial y}.
  2. Determinar o domínio da função b e o domínio das derivadas parciais encontradas.
As informações dadas são apenas a expressão da função \,b(x,y)=\left(7x-3y^{2}\right)^{8}\,.

Passo 2

Estratégia (sem fazer conta ainda): usar a regra da cadeia para funções compostas. A ideia é ver \,b como composição de uma função interna \,u(x,y)\, e uma função externa \,g(u)\,, onde:
u(x,y)=7x-3y^{2}
g(u)=u^{8}
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
\frac{\partial b}{\partial x}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
\frac{\partial b}{\partial y}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da função interna \,u(x,y)=7x-3y^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(7x-3y^{2}\big)=7,
porque 7x deriva para 7 e -3y^{2} é constante em x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(7x-3y^{2}\big)=-6y,
pois 7x é constante em y e \dfrac{d}{dy}(-3y^{2})=-6y.

Passo 4

Calcular a derivada da função externa g(u)=u^{8}. Pela regra de potência,
g'(u)=8u^{7}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando g'(u) com \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Para \dfrac{\partial b}{\partial x}:
\frac{\partial b}{\partial x}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) =8\big(u(x,y)\big)^{7}\cdot 7.
Substituindo u(x,y)=7x-3y^{2},
\frac{\partial b}{\partial x}(x,y)=8\big(7x-3y^{2}\big)^{7}\cdot 7.
Para \dfrac{\partial b}{\partial y}:
\frac{\partial b}{\partial y}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =8\big(u(x,y)\big)^{7}\cdot(-6y).
Substituindo u(x,y)=7x-3y^{2},
\frac{\partial b}{\partial y}(x,y)=8\big(7x-3y^{2}\big)^{7}\cdot(-6y).

Passo 6

Simplificar os coeficientes numéricos:
Para \dfrac{\partial b}{\partial x}:
8\cdot 7 = 56,
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\frac{\partial b}{\partial x}(x,y)=56\big(7x-3y^{2}\big)^{7}.
Para \dfrac{\partial b}{\partial y}:
8\cdot(-6y)=-48y,
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\frac{\partial b}{\partial y}(x,y)=-48y\big(7x-3y^{2}\big)^{7}.

Passo 7

Determinar os domínios.
A expressão interna \,7x-3y^{2}\, é um polinômio em (x,y) e está bem definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Elevações a potências inteiras não causam problemas aqui. Portanto o domínio da função b é
\{(x,y)\mid (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\}=\mathbb{R}^{2}.
As derivadas parciais que encontramos são expressões polinomiais multiplicadas por potências de \,(7x-3y^{2})\,; também estão definidas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo o domínio das derivadas parciais é também \mathbb{R}^{2}.
Observação encorajadora: como tudo aqui é composto por polinômios e potências inteiras, b é infinitamente diferenciável (classe C^{\infty}) em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

\dfrac{\partial b}{\partial x}(x,y)=56\big(7x-3y^{2}\big)^{7}
\dfrac{\partial b}{\partial y}(x,y)=-48y\big(7x-3y^{2}\big)^{7}
Domínio de b: \mathbb{R}^{2}
Domínio das derivadas parciais: \mathbb{R}^{2}

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