Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule f_{x} em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}. No ponto ( 0,0 ), utilize a definição (1). Determine o domínio de f_{x}.
(b) Calcule f_{y}(x, y), para (x, y) \neq(0,0). Mostre que não existe f_{y}(0,0). Escreva o domínio de f_{y}.
(c) Determine em que pontos de \mathbb{R}^{2} a função f é contínua. Faça o mesmo para f_{x} e para f_{y}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, &\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, &\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
(a) Calcular f_{x}\] em todos os pontos de \(\mathbb{R}^{2}. No ponto (0,0) usar a definição (ou seja, o limite do quociente incremental). Determinar o domínio de f_{x}.
(b) Calcular f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Mostrar que f_{y}(0,0) não existe. Determinar o domínio de f_{y}.
(c) Determinar onde f é contínua e onde f_{x} e f_{y} são contínuas.
Informações importantes dadas:
  • A expressão explícita de f em (x,y)\neq(0,0).
  • O valor de f em (0,0).
  • Pedido explícito de usar a definição de derivada parcial em (0,0) para f_{x}.]

Passo 2

Cálculo de f_{x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): se F(x,y)=\dfrac{G(x,y)}{H(x,y)} com H\neq0, então a derivada parcial em relação a x é, tratando y como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{G}{H}\right) =\frac{G_x H - G H_x}{H^2},
que é a regra do quociente (análogo ao caso unidimensional, mas derivando G e H em relação a x).
Aqui G(x,y)=x^3-y^2 e H(x,y)=x^2+y^2. Calculo G_x e H_x:
G_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^3-y^2)=3x^2,\qquad H_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x.
Aplicando a regra do quociente,
f_x(x,y)=\frac{3x^2\,(x^2+y^2)-(x^3-y^2)\,2x}{(x^2+y^2)^2},\qquad (x,y)\neq(0,0).
Agora simplifico o numerador passo a passo:
3x^2(x^2+y^2)=3x^4+3x^2y^2,
(x^3-y^2)2x=2x^4-2xy^2,
subtraindo:
3x^4+3x^2y^2-(2x^4-2x y^2)=x^4+3x^2y^2+2x y^2.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f_x(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2+2x y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Cálculo de f_{x}(0,0) usando a definição (derivada parcial em x no ponto (0,0)).
Definição:
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^3-0}{h^2+0}=h. Logo
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{h}{h}=1\quad\text{(para }h\neq0).
Assim o limite é 1. Logo
f_x(0,0)=1.
Conclusão sobre domínio de f_x: a expressão obtida para (x,y)\neq(0,0) é definida em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), e pelo cálculo anterior f_x(0,0) existe e vale 1. Portanto o domínio de f_x é todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Cálculo de f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Novamente uso a regra do quociente, agora derivando em relação a y. Calculo G_y e H_y:
G_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^3-y^2)=-2y,\qquad H_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.
Aplicando a regra do quociente,
f_y(x,y)=\frac{(-2y)(x^2+y^2)-(x^3-y^2)(2y)}{(x^2+y^2)^2}.
Simplifico o numerador:
(-2y)(x^2+y^2)-(x^3-y^2)(2y)=-2y(x^2+y^2)-2y(x^3-y^2).
Os termos em y^3 cancelam:
-2y(x^2+y^2)-2y(x^3-y^2)=-2y(x^2+x^3)=-2x^2 y(1+x).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f_y(x,y)=\frac{-2x^2 y(1+x)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Mostrando que f_{y}(0,0) não existe.
A derivada parcial f_y(0,0) seria
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-0}{k}.
Para k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0-k^2}{0+k^2}=-1. Logo
\frac{f(0,k)-0}{k}=\frac{-1}{k}.
Esse quociente não tem limite finito quando k\to0 (tende para -\infty por k\to0^+ e +\infty por k\to0^-), portanto f_y(0,0) não existe. Consequentemente o domínio de f_y é
\mathop{\mathrm{dom}}(f_y)=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 6

Continuidade de f.
  • Para (x,y)\neq(0,0): f(x,y) é quociente de polinômios com denominador x^2+y^2\neq0, logo é contínua em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).
  • Em (0,0): uso coordenadas polares para estudar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y). Escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0, tem
x^3-y^2 = r^3\cos^3\theta - r^2\sin^2\theta = r^2\bigl(r\cos^3\theta-\sin^2\theta\bigr),
e x^2+y^2=r^2. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=r\cos^3\theta-\sin^2\theta.
Ao deixar r\to0, o termo r\cos^3\theta\to0, sobrando -\sin^2\theta, que depende de \theta. Portanto o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe (depende da direção de aproximação). Exemplos de limites ao longo de caminhos:
  • Ao longo de y=0 (ou \theta=0): f\to0.
  • Ao longo de y=x (ou \theta=\pi/4): \sin^2\theta=1/2, e f\to -\tfrac12.
    Como há limites diferentes, f não é contínua em (0,0).
Conclusão: f é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).

Passo 7

Continuidade de f_x.
  • Para (x,y)\neq(0,0): f_x(x,y) (como expressão racional com denominador (x^2+y^2)^2\neq0) é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
  • Em (0,0): já sabemos f_x(0,0)=1. Para ver se f_x é contínua em (0,0) precisamos checar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y). Use a expressão obtida em Passo 2:
f_x(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2+2x y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Considere o caminho y=t x com t\neq0 fixo e x\to0. Substituo y=t x:
\text{numerador}=x^4+3x^2(t^2x^2)+2x(t^2x^2)=x^4(1+3t^2)+2t^2x^3,
\text{denominador}=(x^2+t^2x^2)^2=x^4(1+t^2)^2.
Assim
f_x(x,t x)=\frac{x^4(1+3t^2)+2t^2x^3}{x^4(1+t^2)^2} =\frac{x(1+3t^2)+2t^2}{x(1+t^2)^2}.
Quando x\to0 o numerador tende a 2t^2 e o denominador tende a 0 (com sinal do x), logo f_x(x,t x) não tende para 1 nem para um número finito — diverge quando t\neq0. Isso mostra que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) não existe finito e, em particular, não é igual a f_x(0,0)=1. Portanto f_x não é contínua em (0,0).
Conclusão: f_x é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).

Passo 8

Continuidade de f_y.
  • Para (x,y)\neq(0,0): a expressão encontrada em Passo 4,
f_y(x,y)=\frac{-2x^2 y(1+x)}{(x^2+y^2)^2},
é racional com denominador não nulo, logo f_y é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
  • Em (0,0): f_y(0,0) não existe (Passo 5), portanto f_y não é contínua em (0,0).
Conclusão: f_y é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e não existe em (0,0) (portanto não contínua aí).

Resposta

(a) Para (x,y)\neq(0,0),
f_x(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2+2x y^2}{(x^2+y^2)^2},
e
f_x(0,0)=1.
Domínio de f_x: \mathbb{R}^2.
(b) Para (x,y)\neq(0,0),
f_y(x,y)=\frac{-2x^2 y(1+x)}{(x^2+y^2)^2}.
f_y(0,0) não existe. Domínio de f_y: \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
(c) Continuidade:
  • f é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
  • f_x é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
  • f_y é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e não está definida nem contínua em (0,0).

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