Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule f_{x} em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}. No ponto ( 0,0 ), utilize a definição (1). Determine o domínio de f_{x}.
(b) Calcule f_{y}(x, y), para (x, y) \neq(0,0). Mostre que não existe f_{y}(0,0). Escreva o domínio de f_{y}.
(c) Determine em que pontos de \mathbb{R}^{2} a função f é contínua. Faça o mesmo para f_{x} e para f_{y}.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, &\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, &\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
(a) Calcular f_{x}\] em todos os pontos de \(\mathbb{R}^{2}. No ponto (0,0) usar a definição (ou seja, o limite do quociente incremental). Determinar o domínio de f_{x}.
(b) Calcular f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Mostrar que f_{y}(0,0) não existe. Determinar o domínio de f_{y}.
(c) Determinar onde f é contínua e onde f_{x} e f_{y} são contínuas.
Informações importantes dadas:
A expressão explícita de f em (x,y)\neq(0,0).
O valor de f em (0,0).
Pedido explícito de usar a definição de derivada parcial em (0,0) para f_{x}.]
Passo 2
Cálculo de f_{x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): se F(x,y)=\dfrac{G(x,y)}{H(x,y)} com H\neq0, então a derivada parcial em relação a x é, tratando y como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{G}{H}\right) =\frac{G_x H - G H_x}{H^2},
que é a regra do quociente (análogo ao caso unidimensional, mas derivando G e H em relação a x).
Aqui G(x,y)=x^3-y^2 e H(x,y)=x^2+y^2. Calculo G_x e H_x:
Conclusão sobre domínio de f_x: a expressão obtida para (x,y)\neq(0,0) é definida em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), e pelo cálculo anterior f_x(0,0) existe e vale 1. Portanto o domínio de f_x é todo \mathbb{R}^2.
Passo 4
Cálculo de f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Novamente uso a regra do quociente, agora derivando em relação a y. Calculo G_y e H_y:
Para k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0-k^2}{0+k^2}=-1. Logo
\frac{f(0,k)-0}{k}=\frac{-1}{k}.
Esse quociente não tem limite finito quando k\to0 (tende para -\infty por k\to0^+ e +\infty por k\to0^-), portanto f_y(0,0) não existe. Consequentemente o domínio de f_y é
Ao deixar r\to0, o termo r\cos^3\theta\to0, sobrando -\sin^2\theta, que depende de \theta. Portanto o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe (depende da direção de aproximação). Exemplos de limites ao longo de caminhos:
Ao longo de y=0 (ou \theta=0): f\to0.
Ao longo de y=x (ou \theta=\pi/4): \sin^2\theta=1/2, e f\to -\tfrac12.
Como há limites diferentes, f não é contínua em (0,0).
Conclusão: f é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
Passo 7
Continuidade de f_x.
Para (x,y)\neq(0,0): f_x(x,y) (como expressão racional com denominador (x^2+y^2)^2\neq0) é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Em (0,0): já sabemos f_x(0,0)=1. Para ver se f_x é contínua em (0,0) precisamos checar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y). Use a expressão obtida em Passo 2:
f_x(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2+2x y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Considere o caminho y=t x com t\neq0 fixo e x\to0. Substituo y=t x:
Quando x\to0 o numerador tende a 2t^2 e o denominador tende a 0 (com sinal do x), logo f_x(x,t x) não tende para 1 nem para um número finito — diverge quando t\neq0. Isso mostra que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) não existe finito e, em particular, não é igual a f_x(0,0)=1. Portanto f_x não é contínua em (0,0).
Conclusão: f_x é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
Passo 8
Continuidade de f_y.
Para (x,y)\neq(0,0): a expressão encontrada em Passo 4,
f_y(x,y)=\frac{-2x^2 y(1+x)}{(x^2+y^2)^2},
é racional com denominador não nulo, logo f_y é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Em (0,0): f_y(0,0) não existe (Passo 5), portanto f_y não é contínua em (0,0).
Conclusão: f_y é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e não existe em (0,0) (portanto não contínua aí).
Resposta
(a) Para (x,y)\neq(0,0),
f_x(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2+2x y^2}{(x^2+y^2)^2},
e
f_x(0,0)=1.
Domínio de f_x: \mathbb{R}^2.
(b) Para (x,y)\neq(0,0),
f_y(x,y)=\frac{-2x^2 y(1+x)}{(x^2+y^2)^2}.
f_y(0,0) não existe. Domínio de f_y: \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
(c) Continuidade:
f é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
f_x é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
f_y é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e não está definida nem contínua em (0,0).