Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
e determinar o domínio da função e das derivadas. Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se encontrar
e . - Deve-se indicar o domínio de
e o domínio das derivadas parciais.
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas importantes que usarei agora (aula rápida e direta):
- Derivada da função arco-tangente: se
então
Isto significa que para qualquer argumento real
, a derivada existe e vale
.
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
com diferenciável e diferenciável, então
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento e
,
são as derivadas parciais do argumento
em relação a
e
.
Passo 3
Identifico a função interna (o argumento da arctan):
Agora calculo as derivadas parciais de
, lembrando que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.
Derivada parcial de
em relação a
:
pois
é constante quando derivamos em
e
.
Derivada parcial de
em relação a
:
usando a regra do poder (
) e o fato de
ser tratado como constante.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
, cuja derivada é
, para a derivada parcial em relação a
temos:
Simplificando o quadrado no denominador
, fica:
Passo 5
Agora a derivada parcial em relação a
:
Simplificando o denominador como antes:
Passo 6
Determinar o domínio. Observações:
- A função
está definida para todo . - O argumento
é um número real para qualquer par .
Logo o domínio da função é
Domain das derivadas:
- Nos expressões das derivadas o denominador é
. Como para todos , temos . Portanto o denominador nunca é zero, e as derivadas parciais existem para todos os .
Logo o domínio das derivadas é também.
Passo 7
Resumo e comentário final rápido (ânimo): as derivadas saíram simples e bem comportadas — nada de singularidade escondida. Se quiser, dá pra verificar um caso numérico rápido: por exemplo para
,
Vai dar pra aplicar isso na prova numa boa — respira e parte pro próximo exercício!