Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função g(r,s)=\arctan\!\big(r s^{2}\big) e determinar o domínio da função e das derivadas. Informações dadas:
  • A função é g(r,s)=\arctan\!\big(r s^{2}\big).
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial g}{\partial r} e \dfrac{\partial g}{\partial s}.
  • Deve-se indicar o domínio de g e o domínio das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes que usarei agora (aula rápida e direta):
  1. Derivada da função arco-tangente: se f(x)=\arctan(x) então
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Isto significa que para qualquer argumento real x, a derivada existe e vale \dfrac{1}{1+x^{2}}.
  1. Regra da cadeia para derivadas parciais: se g(r,s)=f\big(u(r,s)\big) com f diferenciável e u diferenciável, então
\frac{\partial g}{\partial r}(r,s)=f'\big(u(r,s)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial r}(r,s), \qquad \frac{\partial g}{\partial s}(r,s)=f'\big(u(r,s)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial s}(r,s).
Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento e \partial u/\partial r, \partial u/\partial s são as derivadas parciais do argumento u em relação a r e s.

Passo 3

Identifico a função interna (o argumento da arctan):
u(r,s)=r s^{2}.
Agora calculo as derivadas parciais de u, lembrando que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.
Derivada parcial de u em relação a r:
\frac{\partial u}{\partial r}(r,s)=\frac{\partial}{\partial r}\big(r s^{2}\big)=s^{2},
pois s^{2} é constante quando derivamos em r e \dfrac{d}{dr}(r)=1.
Derivada parcial de u em relação a s:
\frac{\partial u}{\partial s}(r,s)=\frac{\partial}{\partial s}\big(r s^{2}\big)=r\cdot\frac{d}{ds}(s^{2})=r\cdot 2s=2 r s,
usando a regra do poder ( \dfrac{d}{ds}s^{2}=2s) e o fato de r ser tratado como constante.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com f(x)=\arctan(x), cuja derivada é f'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, para a derivada parcial em relação a r temos:
\frac{\partial g}{\partial r}(r,s) = f'\big(u(r,s)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial r}(r,s) = \frac{1}{1+\big(r s^{2}\big)^{2}}\cdot s^{2}.
Simplificando o quadrado no denominador \big(r s^{2}\big)^{2}=r^{2}s^{4}, fica:
\frac{\partial g}{\partial r}(r,s)=\frac{s^{2}}{1+r^{2}s^{4}}.

Passo 5

Agora a derivada parcial em relação a s:
\frac{\partial g}{\partial s}(r,s) = f'\big(u(r,s)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial s}(r,s) = \frac{1}{1+\big(r s^{2}\big)^{2}}\cdot 2 r s.
Simplificando o denominador como antes:
\frac{\partial g}{\partial s}(r,s)=\frac{2 r s}{1+r^{2}s^{4}}.

Passo 6

Determinar o domínio. Observações:
  • A função \arctan(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O argumento u(r,s)=r s^{2} é um número real para qualquer par (r,s)\in\mathbb{R}^{2}.
    Logo o domínio da função é
\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}^{2}.
Domain das derivadas:
  • Nos expressões das derivadas o denominador é 1+r^{2}s^{4}. Como r^{2}s^{4}\ge 0 para todos (r,s), temos 1+r^{2}s^{4}\ge 1>0. Portanto o denominador nunca é zero, e as derivadas parciais existem para todos os (r,s)\in\mathbb{R}^{2}.
    Logo o domínio das derivadas é também \mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Resumo e comentário final rápido (ânimo): as derivadas saíram simples e bem comportadas — nada de singularidade escondida. Se quiser, dá pra verificar um caso numérico rápido: por exemplo para (r,s)=(2,1),
\frac{\partial g}{\partial r}(2,1)=\frac{1}{1+2^{2}\cdot1^{4}}=\frac{1}{5},\qquad \frac{\partial g}{\partial s}(2,1)=\frac{2\cdot2\cdot1}{1+2^{2}\cdot1^{4}}=\frac{4}{5}.
Vai dar pra aplicar isso na prova numa boa — respira e parte pro próximo exercício!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial r}(r,s)=\frac{s^{2}}{1+r^{2}s^{4}}
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial s}(r,s)=\frac{2 r s}{1+r^{2}s^{4}}
\displaystyle \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}^{2}
\displaystyle \mathrm{Dom}\!\left(\frac{\partial g}{\partial r}\right)=\mathrm{Dom}\!\left(\frac{\partial g}{\partial s}\right)=\mathbb{R}^{2}

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