Calcule as derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem da função z=f(x, y) :
z=y^2 ln (x^2+y^2)

Passo 1

Nesta questão queremos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função z = y^2 ln(x^2 + y^2). O conteúdo envolvido é derivada parcial, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular dfracpartial zpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia à parte ln(x^2 + y^2).
partial zpartial x = y^2 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xy^2x^2 + y^2

Passo 3

Para calcular dfracpartial zpartial y, usamos regra do produto em y^2 ln(x^2+y^2) e regra da cadeia na parte logarítmica:
Primeiro termo (derivada de y^2): 2y ln(x^2+y^2).
Segundo termo ( y^2 vezes derivada de ln(x^2+y^2)):
y^2 cdot 1x^2+y^2 cdot 2y = 2y^3x^2+y^2
Somando:
partial zpartial y = 2y ln(x^2+y^2) + 2y^3x^2+y^2

Passo 4

Para dfracpartial^2 zpartial x^2, derivamos partial z/partial x = 2xy^2/(x^2+y^2) em relação a x. Usamos regra do quociente (ou produto com (x^2+y^2)^-1):
partial^2 zpartial x^2 = 2y^2 l(1x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2r) = 2y^2(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Para a derivada mista dfracpartial^2 zpartial xpartial y, derivamos partial z/partial x = 2xy^2/(x^2+y^2) em relação a y, novamente usando regra do quociente:
partial^2 zpartial xpartial y = 4x y l(x^2+y^2 - y^2(x^2+y^2)^2r) = 4x^3 y(x^2+y^2)^2

Passo 6

Para dfracpartial^2 zpartial y^2, derivamos partial z/partial y = 2y ln(x^2+y^2) + 2y^3/(x^2+y^2) em relação a y. Separamos em dois termos e aplicamos produto e quociente:
Derivada de 2y ln D (com D = x^2+y^2):
2 ln D + 2y cdot 2yD = 2ln(x^2+y^2) + 4y^2x^2+y^2
Derivada de 2y^3/D:
6y^2D - 4y^4D^2
Somando tudo:
partial^2 zpartial y^2 = 2ln(x^2+y^2) + 10y^2x^2+y^2 - 4y^4(x^2+y^2)^2

Resposta

(\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{2xy2}{x2+y^2},\quad \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2y\ln(x2+y2) + \dfrac{2y3}{x2+y^2},\
\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \dfrac{2y2(y2 - x2)}{(x2+y2)2},\quad \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \dfrac{4x3y}{(x2+y2)2},\
\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\ln(x2+y2) + \dfrac{10y2}{x2+y^2} - \dfrac{4y4}{(x2+y2)2}.

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