Calcule as derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem da função
:
Passo 1
Nesta questão queremos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. O conteúdo envolvido é derivada parcial, aplicando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Para calcular
, tratamos
como constante e aplicamos a regra da cadeia à parte
.
Passo 3
Para calcular
, usamos regra do produto em
e regra da cadeia na parte logarítmica:
Primeiro termo (derivada de
):
.
Segundo termo (
vezes derivada de
):
Somando:
Passo 4
Para
, derivamos
em relação a
. Usamos regra do quociente (ou produto com
):
Passo 5
Para a derivada mista
, derivamos
em relação a
, novamente usando regra do quociente:
Passo 6
Para
, derivamos
em relação a
. Separamos em dois termos e aplicamos produto e quociente:
Derivada de
(com
):
Derivada de
:
Somando tudo:
Resposta
(\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{2xy2}{x2+y^2},\quad \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2y\ln(x2+y2) + \dfrac{2y3}{x2+y^2},\
\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \dfrac{2y2(y2 - x2)}{(x2+y2)2},\quad \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \dfrac{4x3y}{(x2+y2)2},\
\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\ln(x2+y2) + \dfrac{10y2}{x2+y^2} - \dfrac{4y4}{(x2+y2)2}.
\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \dfrac{2y2(y2 - x2)}{(x2+y2)2},\quad \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \dfrac{4x3y}{(x2+y2)2},\
\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\ln(x2+y2) + \dfrac{10y2}{x2+y^2} - \dfrac{4y4}{(x2+y2)2}.