Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo.
f(x)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, a_{i j}=a_{j i} \in \mathbb{R} fixos, x=\left(x_{1} \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,x_i\,x_j,
com a_{ij}=a_{ji} constantes. Queremos encontrar, para cada k=1,\dots,n, a derivada parcial \partial f/\partial x_k, usando a definição de derivada parcial e as regras de derivada de soma e de produto.

Passo 2

Ao derivar f em relação a x_k, cada termo a_{ij}\,x_i\,x_j contribui se e só se i=k ou j=k:
  • Se i=k e j\neq k, então
\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(a_{kj}\,x_k\,x_j\bigr) = a_{kj}\,x_j.
  • Se j=k e i\neq k, então
\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(a_{ik}\,x_i\,x_k\bigr) = a_{ik}\,x_i.
  • Se i\neq k e j\neq k, a derivada é zero.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x_k} =\sum_{j=1}^{n}a_{kj}\,x_j +\sum_{i=1}^{n}a_{ik}\,x_i.

Passo 3

Como a_{ik}=a_{ki}, as duas somas são iguais. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x_k} =2\sum_{j=1}^{n}a_{kj}\,x_j.

Resposta

Para cada k=1,\dots,n,
\frac{\partial f}{\partial x_k} =2\sum_{j=1}^{n}a_{kj}\,x_j.

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