Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo
u(x, y)=f\left(x y^{2}-2 x\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
u(x,y)=f\bigl(xy^{2}-2x\bigr),
onde f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para funções compostas de duas variáveis.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=xy^{2}-2x.
Assim u(x,y)=f\bigl(g(x,y)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de g em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}-2x\bigr) =y^{2}-2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para obter \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x} =f'\bigl(g(x,y)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial x} =f'\bigl(xy^{2}-2x\bigr)\,(y^{2}-2).

Passo 5

Calculamos a derivada parcial de g em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{2}-2x\bigr) =2xy.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para obter \partial u/\partial y:
\frac{\partial u}{\partial y} =f'\bigl(g(x,y)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial y} =f'\bigl(xy^{2}-2x\bigr)\,(2xy).

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x} =(y^{2}-2)\,f'\bigl(xy^{2}-2x\bigr), \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =2xy\,f'\bigl(xy^{2}-2x\bigr).

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