Seja a função abaixo e faça o que se pede f(x, y)= \begin{cases}x \operatorname{sen} \frac{1}{y}, & \text { se } y \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } y=0\end{cases} Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} x\operatorname{sen}\bigl(\frac{1}{y}\bigr),&\text{se }y\neq0,\\\\ 0,&\text{se }y=0, \end{cases} e pede para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis e usaremos o Teorema do Confronto (squeeze theorem) junto com a definição ε–δ. Passo 2Para todo ponto (x,y) com y\neq0 temos |f(x,y)| = \bigl|x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)\bigr|\le |x|\cdot1 = |x|. Quando y=0, f(x,0)=0 e portanto |f(x,0)|=0\le|x|. Assim, de modo geral, |f(x,y)|\le|x|\quad\forall(x,y). Passo 3Observamos que |x|\le \sqrt{x^2+y^2}, pois x^2\le x^2+y^2. Combinando com o passo anterior segue |f(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}. Passo 4Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então |f(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\varepsilon. Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que f(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0). Resposta \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja a função abaixo e faça o que se pede f(x, y)= \begin{cases}x \operatorname{sen} \frac{1}{y}, & \text { se } y \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } y=0\end{cases} Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0. Seja a função abaixo e faça o que se pede f(x, y)= \begin{cases}x \operatorname{sen} \frac{1}{y}, & \text { se } y \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } y=0\end{cases} Mostre que \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)\right) \neq \lim _{y \rightarrow 0}\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)\right) Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo. f(x)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, a_{i j}=a_{j i} \in \mathbb{R} fixos, x=\left(x_{1} \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo u(x, y)=f\left(x y^{2}-2 x\right).