Seja a função abaixo e faça o que se pede
f(x, y)= \begin{cases}x \operatorname{sen} \frac{1}{y}, & \text { se } y \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } y=0\end{cases}
Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x\operatorname{sen}\bigl(\frac{1}{y}\bigr),&\text{se }y\neq0,\\\\ 0,&\text{se }y=0, \end{cases}
e pede para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis e usaremos o Teorema do Confronto (squeeze theorem) junto com a definição ε–δ.

Passo 2

Para todo ponto (x,y) com y\neq0 temos
|f(x,y)| = \bigl|x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)\bigr|\le |x|\cdot1 = |x|.
Quando y=0, f(x,0)=0 e portanto |f(x,0)|=0\le|x|. Assim, de modo geral,
|f(x,y)|\le|x|\quad\forall(x,y).

Passo 3

Observamos que
|x|\le \sqrt{x^2+y^2},
pois x^2\le x^2+y^2. Combinando com o passo anterior segue
|f(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então
|f(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que f(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

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