Calcule as derivadas parciais
f(x, y)=3 x^4 y^2+x y^3+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = 3x{4}y{2} + xy^{3} + 4 $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • O termo $ 3x{4}y{2} $: a derivada em relação a $ x $ é $ 12x{3}y{2} $ (usando a regra do poder: $ d/dx , x^n = nx^{n-1} $).
  • O termo $ xy^{3} $: a derivada em relação a $ x $ é $ y^{3} $ (porque a derivada de $ x $ é 1, e $ y^{3} $ é constante).
  • O termo $ 4 $: a derivada em relação a $ x $ é 0 (já que é uma constante).

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas dos termos:
partial fpartial x = 12x^3y^2 + y^3

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ y $.

Passo 6

Derivando termo a termo:
  • O termo $ 3x{4}y{2} $: a derivada em relação a $ y $ é $ 6x^{4}y $.
  • O termo $ xy^{3} $: a derivada em relação a $ y $ é $ 3xy^{2} $.
  • O termo $ 4 $: a derivada em relação a $ y $ é 0.

Passo 7

Somamos todas as derivadas dos termos:
partial fpartial y = 6x^4y + 3xy^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = 3x{4}y{2} + xy^{3} + 4 $ são:
f(x, y) = 3x^4y^2 + xy^3 + 4
partial fpartial x = 12x^3y^2 + y^3

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