Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões. Isso envolve cálculo de derivadas parciais. Basicamente, precisamos calcular as segundas derivadas de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, somar elas e ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $. Derivando uma vez em relação a $ x $:
Agora, derivando de novo para obter a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ y $. Derivando uma vez em relação a $ y $:
Derivando novamente para a segunda derivada:
Passo 4
Por último, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ z $. Derivando uma vez em relação a $ z $:
E derivando novamente para a segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somar elas conforme a equação de Laplace:
Resposta
A função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, já que a soma das suas segundas derivadas é igual a zero.