Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2-2 z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões. Isso envolve cálculo de derivadas parciais. Basicamente, precisamos calcular as segundas derivadas de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, somar elas e ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $. Derivando uma vez em relação a $ x $:
f
Agora, derivando de novo para obter a segunda derivada:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ y $. Derivando uma vez em relação a $ y $:
y
Derivando novamente para a segunda derivada:
y

Passo 4

Por último, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ z $. Derivando uma vez em relação a $ z $:
z
E derivando novamente para a segunda derivada:
z

Passo 5

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somar elas conforme a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 2 + 2 - 4 = 0

Resposta

A função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2z^{2} $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, já que a soma das suas segundas derivadas é igual a zero.

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