Considere o sistemas a seguir e encontre a solução geral do sistema
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares:
O conteúdo envolvido aqui é o de sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
onde
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os valores próprios (λ) da matriz A. Calculamos o determinante de
igual a zero:
Passo 3
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Resolvendo para λ:
Passo 4
Com os valores próprios sendo complexos, sabemos que a solução geral terá a forma:
onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos encontrar os vetores próprios. Para
:
[
]
Resolvendo, temos:
Simplificando o complexo:
Podemos escolher
, então:
Então, um vetor próprio é:
Passo 6
Agora, dividimos o vetor próprio em partes reais e imaginárias:
Assim, a solução geral do sistema será:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é: