Considere o sistemas a seguir e encontre a solução geral do sistema
(3) lx1^prime=x1+2 x2 x2^prime=-5 x1-x2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares:
l x1^prime = x1 + 2x2 x2^prime = -5x1 - x2
O conteúdo envolvido aqui é o de sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz associada ao sistema.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
x' = Ax
onde
A = 1 & 2 -5 & -1 , x = x1 x2
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os valores próprios (λ) da matriz A. Calculamos o determinante de det(A - lambda I) = 0 igual a zero:

Passo 3

Calculando o determinante:
det 1 - lambda & 2 -5 & -1 - lambda = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (2)(-5)
= (-1 - lambda + lambda + lambda^2) + 10
= lambda^2 - 1 + 10 = lambda^2 + 9
Então, a equação característica é:
lambda^2 + 9 = 0
Resolvendo para λ:
lambda = pm 3i

Passo 4

Com os valores próprios sendo complexos, sabemos que a solução geral terá a forma:
x(t) = e^alpha t ( v cos(beta t) + w sin(beta t) )
onde . No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos encontrar os vetores próprios. Para (A - 3i I)v = 0 :
1 - 3i & 2 -5 & -1 - 3i v1 v2 = 0 0
[
(1 - 3i)v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -21 - 3iv2
v1 = -2(1 + 3i)(1)^2 + (3)^2v2 = -2 - 6i10v2 = -1 - 3i5v2

v1 = -1 - 3i
]
Resolvendo, temos:
v = -1 - 3i 5
Simplificando o complexo:
Podemos escolher , então:
Então, um vetor próprio é:

Passo 6

Agora, dividimos o vetor próprio em partes reais e imaginárias:
v = vr + ivi = -1 5 + i -3 0
Assim, a solução geral do sistema será:
x(t) = e^0t [ -1 5 cos(3t) + -3 0 sin(3t) ]
Simplificando:
x(t) = - cos(3t) - 3 sin(3t) 5 cos(3t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = - cos(3t) - 3 sin(3t) 5 cos(3t)

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