Calcule as derivadas parciais
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em Cálculo Diferencial, onde analisamos como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ f $ considerando $ y $ como uma constante.
Passo 3
A função é $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $. Para derivar em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 4
Aqui, $ u = x^{2} + y^{2} $. Agora, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Passo 7
Usando novamente a regra da cadeia, com $ u = x^{2} + y^{2} $, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ são: