Calcule as derivadas parciais
f(x, y)=e^x^2+y^2

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em Cálculo Diferencial, onde analisamos como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ f $ considerando $ y $ como uma constante.

Passo 3

A função é $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $. Para derivar em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 4

Aqui, $ u = x^{2} + y^{2} $. Agora, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $:
u = x^2 + y^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial x = e^x^2 + y^2 cdot 2x = 2x e^x^2 + y^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.

Passo 7

Usando novamente a regra da cadeia, com $ u = x^{2} + y^{2} $, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
u = x^2 + y^2

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = e^x^2 + y^2 cdot 2y = 2y e^x^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ são:
f(x, y) = e^x^2 + y^2

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