Calcule as derivadas parciais abaixo
fx, fy e fz, onde f(x, y, z)=x y^2+y cos (z^2)+4 x y z

Passo 1

Aqui temos um exercício de cálculo que trabalha com derivadas parciais. A função dada é $ f(x, y, z) = x y^{2} + y \cos(z^{2}) + 4x y z $. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_{x} $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ x $.
f
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
  • A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ x $ é $ y^{2} $.
  • A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ x $ é $ 0 $, pois esse termo não depende de $ x $.
  • A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ x $ é $ 4 y z $.
Portanto,
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ y $.
f
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
  • A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2x y $, usando a regra da potência.
  • A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ y $ é $ \cos(z^{2}) $, já que $ \cos(z^{2}) $ é constante em relação a $ y $.
  • A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ y $ é $ 4x z $.
Somando todos, temos:
y

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ f_{z} $. Nesta parte, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ z $.
f
Derivando termo a termo em relação a $ z $:
  • A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ z $ é $ 0 $, pois esse termo não depende de $ z $.
  • A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ z $ é $ y \cdot (-\sin(z^{2}) \cdot 2z) $, aplicando a regra da cadeia.
  • A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ z $ é $ 4x y $.
Simplificando:
z

Resposta

As derivadas parciais são:
fx = y^2 + 4 y z
fy = 2x y + cos(z^2) + 4x z
fz = -2y z sin(z^2) + 4x y

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