Calcule as derivadas parciais abaixo
e
, onde
Passo 1
Aqui temos um exercício de cálculo que trabalha com derivadas parciais. A função dada é $ f(x, y, z) = x y^{2} + y \cos(z^{2}) + 4x y z $. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_{x} $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ x $.
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
- A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ x $ é $ y^{2} $.
- A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ x $ é $ 0 $, pois esse termo não depende de $ x $.
- A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ x $ é $ 4 y z $.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ y $.
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
- A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2x y $, usando a regra da potência.
- A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ y $ é $ \cos(z^{2}) $, já que $ \cos(z^{2}) $ é constante em relação a $ y $.
- A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ y $ é $ 4x z $.
Somando todos, temos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ f_{z} $. Nesta parte, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes e derivamos $ f $ em relação a $ z $.
Derivando termo a termo em relação a $ z $:
- A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ z $ é $ 0 $, pois esse termo não depende de $ z $.
- A derivada de $ y \cos(z^{2}) $ em relação a $ z $ é $ y \cdot (-\sin(z^{2}) \cdot 2z) $, aplicando a regra da cadeia.
- A derivada de $ 4x y z $ em relação a $ z $ é $ 4x y $.
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são: