Determine a derivada de
, utilizando a “regra da cadeia”, se:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(z)=√(1+arcsen z), usando a regra da cadeia. Aqui o conteúdo é derivada de função composta: raiz quadrada e arcsen, e vamos precisar saber que d/dz [√u]=1/(2√u)·du/dz e que d/dz [arcsen z]=1/√(1−z²).
Passo 2
Vamos definir a função interna u(z)=1+arcsen z e a externa F(u)=√u. A regra da cadeia diz que f’(z)=F’(u(z))·u’(z).
Passo 3
Derivamos a externa: como F(u)=u^{1/2}, temos F’(u)=1/(2√u).
Passo 4
Derivamos a interna: u(z)=1+arcsen z, logo u’(z)=0+1/√(1−z²).
Passo 5
Agora juntamos tudo: f’(z)=F’(u(z))·u’(z)=1\Big/\bigl(2√{1+arcsen z}\bigr)·1/√(1−z²).
Resposta
f’(z)=\frac{1}{2\sqrt{1+\operatorname{arcsen}z};\sqrt{1-z^2}}