Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(z)=raiz1+arcsen z

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(z)=√(1+arcsen z), usando a regra da cadeia. Aqui o conteúdo é derivada de função composta: raiz quadrada e arcsen, e vamos precisar saber que d/dz [√u]=1/(2√u)·du/dz e que d/dz [arcsen z]=1/√(1−z²).

Passo 2

Vamos definir a função interna u(z)=1+arcsen z e a externa F(u)=√u. A regra da cadeia diz que f’(z)=F’(u(z))·u’(z).

Passo 3

Derivamos a externa: como F(u)=u^{1/2}, temos F’(u)=1/(2√u).

Passo 4

Derivamos a interna: u(z)=1+arcsen z, logo u’(z)=0+1/√(1−z²).

Passo 5

Agora juntamos tudo: f’(z)=F’(u(z))·u’(z)=1\Big/\bigl(2√{1+arcsen z}\bigr)·1/√(1−z²).

Resposta

f’(z)=\frac{1}{2\sqrt{1+\operatorname{arcsen}z};\sqrt{1-z^2}}

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