Calcule as derivadas parciais abaixo
e
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, onde $ z = x^{3} \sin(y) + e^{x y} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
Primeiro, identificamos as duas partes da função $ z $:
- $ x^{3} \sin(y) $
- $ e^{x y} $
Para a primeira parte, tratamos $ \sin(y) $ como uma constante, já que estamos derivando em relação a $ x $. Aplicamos a regra do poder:
Agora, para a segunda parte $ e^{x y} $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Aqui, $ u = x y $, então:
Juntando as duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Novamente, dividimos a função $ z $ em duas partes:
- $ x^{3} \sin(y) $
- $ e^{x y} $
Para a primeira parte $ x^{3} \sin(y) $, tratamos $ x^{3} $ como uma constante. A derivada de $ \sin(y) $ em relação a $ y $ é $ \cos(y) $:
Para a segunda parte $ e^{x y} $, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ y $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $. Aqui, $ u = x y $, então:
Assim, somando as duas partes, temos:
Resposta
As derivadas parciais são:
e