Calcule as derivadas parciais abaixo
fx y z, onde f(x, y, z)=sen(x^2+y^2)-x z^3 e^y

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada parcial mista de terceira ordem fxyz da função f(x,y,z)=sinl(x^2+y^2r)-x z^3 e^y. Vamos usar a regra da cadeia para sin e a regra do produto onde for necessário.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x. Para sin(x^2+y^2), aplicamos a regra da cadeia: a derivada é cos(x^2+y^2) vezes a derivada de x^2+y^2 em relação a x, que é 2x. Para o termo -x z^3 e^y, tratamos z^3 e^y como constante e a derivada de -x é -1. Assim,
fx=2xcos(x^2+y^2)-z^3 e^y

Passo 3

Em seguida, derivamos fx em relação a y. No primeiro termo 2xcos(x^2+y^2), aplicamos novamente a cadeia: a derivada de cos(x^2+y^2) é -sin(x^2+y^2) vezes a derivada interna 2y, resultando em , tratamos -4xysin(x^2+y^2)) No segundo termo (-z^3 e^y) como constante e derivamos z^3, obtendo e^y. Logo,
e^y

Passo 4

Por fim, derivamos fxy em relação a z. O termo -4xysin(x^2+y^2)) não depende de z, então sua derivada é zero. Para -z^3 e^y), tratamos e^y como constante e derivamos -z^3), obtendo (-3z^2). Portanto,
fxyz=-3z^2 e^y

Resposta

-3z^2 e^y

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