Seja
.
(a) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção
.
(b) Qual o valor máximo entre as derivadas direcionais
? Em que direção
ocorre esse valor?
(a) Calcule a derivada direcional de
(b) Qual o valor máximo entre as derivadas direcionais
Passo 1
O enunciado pede para (a) calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção
e (b) encontrar o valor máximo das derivadas direcionais em
e a direção
que atinge esse valor. Vamos usar a definição de derivada direcional via gradiente, produto escalar e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
e avaliamos em
. O gradiente é dado por
Logo,
Passo 3
Agora usamos a fórmula da derivada direcional em
:
Calculando o produto escalar,
Passo 4
Para (b), sabemos que a derivada direcional atinge valor máximo na direção do gradiente e esse valor é a norma de
. Calculamos:
A direção unitária
correspondente é
Resposta
a)
b) O valor máximo é
e ocorre na direção
.