Seja f(x, y)=x^3+y^3.
(a) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção v=(1 / 2, raiz3 / 2).
(b) Qual o valor máximo entre as derivadas direcionais Du f(1,2) ? Em que direção u ocorre esse valor?

Passo 1

O enunciado pede para (a) calcular a derivada direcional de f(x,y)=x^3+y^3 no ponto (1,2) na direção v=(1/2,raiz3/2) e (b) encontrar o valor máximo das derivadas direcionais em (1,2) e a direção u que atinge esse valor. Vamos usar a definição de derivada direcional via gradiente, produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f e avaliamos em (1,2). O gradiente é dado por
nabla f(x,y)=(3x^2,,3y^2)
Logo,
nabla f(1,2)=(3cdot1^2,,3cdot2^2)=(3,12)

Passo 3

Agora usamos a fórmula da derivada direcional em v:
Dvf(1,2)=nabla f(1,2)cdot v=(3,12)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r)
Calculando o produto escalar,
Dvf(1,2)=3cdottfrac12+12cdottfracraiz32=tfrac32+6raiz3

Passo 4

Para (b), sabemos que a derivada direcional atinge valor máximo na direção do gradiente e esse valor é a norma de nabla f(1,2). Calculamos:
|nabla f(1,2)|=raiz3^2+12^2=3raiz17
A direção unitária u correspondente é
u=nabla f(1,2)|nabla f(1,2)|=l(33raiz17,123raiz17r)=l(1raiz17,4raiz17r)

Resposta

a) Dvf(1,2)=tfrac32+6raiz3 b) O valor máximo é 3raiz17 e ocorre na direção u=(1/raiz17,4/raiz17).

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