Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2 mid y >= raizx e(x-1)^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a região A dada por dois critérios: y ≥ √x e (x − 1)² + y² ≤ 1. O conteúdo aqui envolve estudar a interseção de uma parábola y=√x com um círculo de centro (1,0) e raio 1, e em seguida usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume.

Passo 2

Para usar cascas, primeiro determinamos os limites em y encontrando onde a parábola e o círculo se cortam. Substituímos y²=x na equação do círculo:
(x-1)^2 + y^2 = 1
virando
(y^2 - 1)^2 + y^2 = 1
Isso expande para
y^4 -2y^2 +1 +y^2 -1 = 0
isto é
y^2(y^2 -1) = 0,
cuja solução em y ≥ 0 é y=0 e y=1. Portanto y varia de 0 a 1.

Passo 3

Para cada y em [0,1], a região está entre a borda esquerda do círculo e a parábola:
bordo do círculo:
(x-1)^2 = 1 - y^2 ,implies, x = 1 pm raiz1 - y^2,
mas queremos a parte com x ≤ 1, logo
xesq = 1 - raiz1 - y^2
A parábola dá
xdir = y^2
Logo, a altura de cada casca é
h(y) = xdir - xesq = y^2 - l(1 - raiz1 - y^2r)

Passo 4

No método das cascas, o raio de cada casca é y e a espessura é dy. O volume é
V = 2pi integraly=0^1 l(raior)timesl(a

Passo 5

Agora desmembramos a integral:
integral0^1l(y^3 - y + yraiz1 - y^2r)dy = integral0^1 y^3 dy - integral0^1 y dy + integral0^1 yraiz1 - y^2dy
Calculamos separadamente:
integral0^1 y^3 dy = tfrac14, integral0^1 y dy = tfrac12
Para a última, fazemos u = 1 - y^2, du = -2y dy, logo
integral0^1 yraiz1 - y^2dy = -tfrac12 integralu=1^0 u^1/2du = tfrac12 integral0^1 u^1/2du = tfrac12 cdot tfrac23 = tfrac13

Passo 6

Assim
integral0^1(y^3 - y + yraiz1 - y^2)dy = tfrac14 - tfrac12 + tfrac13 = tfrac112
Portanto o volume é
V = 2pi cdot tfrac112 = tfracpi6

Resposta

pi6

Exercícios relacionados