Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a região A dada por dois critérios: y ≥ √x e (x − 1)² + y² ≤ 1. O conteúdo aqui envolve estudar a interseção de uma parábola y=√x com um círculo de centro (1,0) e raio 1, e em seguida usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume.
Passo 2
Para usar cascas, primeiro determinamos os limites em y encontrando onde a parábola e o círculo se cortam. Substituímos y²=x na equação do círculo:
virando
Isso expande para
isto é
cuja solução em y ≥ 0 é y=0 e y=1. Portanto y varia de 0 a 1.
Passo 3
Para cada y em [0,1], a região está entre a borda esquerda do círculo e a parábola:
bordo do círculo:
bordo do círculo:
mas queremos a parte com x ≤ 1, logo
A parábola dá
Logo, a altura de cada casca é
Passo 4
No método das cascas, o raio de cada casca é y e a espessura é dy. O volume é
Passo 5
Agora desmembramos a integral:
Calculamos separadamente:
Para a última, fazemos u = 1 - y^2, du = -2y dy, logo
Passo 6
Assim
Portanto o volume é