Considere o campo de força no plano R^2 dado por
F(x, y)=-y partialx+x partialy
O trabalho tau realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro ( 23,0 ) e raio 6 , é da forma tau=pi N para um número inteiro N. Calcule N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de força no plano R^2 definido por F(x, y) = -y, partialx + x, partialy. A missão é calcular o trabalho tau que uma partícula faz ao dar uma volta completa, no sentido anti-horário, em torno de um círculo com centro em (23, 0) e raio 6. Sabemos que esse trabalho tem a forma tau = pi N, onde N é um número inteiro que precisamos descobrir.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Isso vai nos ajudar a encontrar o valor de N de maneira mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força F ao longo de uma curva C é dado por:
tau = ointC F cdot dr
No nosso caso, o campo de força é F(x, y) = (-y, x), e a curva C é o círculo de centro (23, 0) e raio 6, percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Então, podemos escrever o trabalho como:
tau = ointC (-y, dx + x, dy)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que:
ointC (M, dx + N, dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx, dy
Comparando com o nosso caso, temos M = -y e N = x. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Npartial x = partial xpartial x = 1
partial Mpartial y = partial (-y)partial y = -1
Então, a diferença das derivadas é:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Substituindo de volta na integral dupla:
tau = integral duplaD 2, dx, dy = 2 times Área(D) Á
A região D é o interior do círculo de raio 6, então a área é:
Área(D) = pi r^2 = pi (6)^2 = 36pi Á
Então:
tau = 2 times 36pi = 72pi

Passo 5

Sabemos que tau = pi N, então podemos igualar as duas expressões:
72pi = pi N
Dividindo ambos os lados por pi:
N = 72

Resposta

N = 72

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