Considere o campo de força no plano
dado por
O trabalho
realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro ( 23,0 ) e raio 6 , é da forma
para um número inteiro
. Calcule
.
O trabalho
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de força no plano
definido por
. A missão é calcular o trabalho
que uma partícula faz ao dar uma volta completa, no sentido anti-horário, em torno de um círculo com centro em (23, 0) e raio 6. Sabemos que esse trabalho tem a forma
, onde
é um número inteiro que precisamos descobrir.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Isso vai nos ajudar a encontrar o valor de
de maneira mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma curva
é dado por:
No nosso caso, o campo de força é
, e a curva
é o círculo de centro (23, 0) e raio 6, percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Então, podemos escrever o trabalho como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que:
Comparando com o nosso caso, temos
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a diferença das derivadas é:
Passo 4
Substituindo de volta na integral dupla:
A região
é o interior do círculo de raio 6, então a área é:
Então:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos igualar as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por
: