Calcule as derivadas parciais de 1^circ ordem em x e y. ( 1 Ponto cada) f(x, y)=raizx^3-2 y^2+4 x y (1 Ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=raizx^3-2y^2+4xy. O conteúdo envolve derivada de função composta e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos u(x,y)=x^3-2y^2+4xy de modo que f(x,y)=raizu(x,y)=u(x,y)^1/2. Pela regra da cadeia, precisamos de partial fpartial x=12u(x,y)^-1/2cdotpartial upartial x e da derivada partial upartial x=3x^2+4y. Logo,
partial fpartial x=12raizu(x,y),(3x^2+4y)=3x^2+4y2raizx^3-2y^2+4xy

Passo 3

Agora para partial fpartial y, temos pela regra da cadeia partial fpartial y=12u(x,y)^-1/2cdotpartial upartial y e partial upartial y=-4y+4x=4(x-y). Portanto,
partial fpartial y=12raizu(x,y),4(x-y)=4(x-y)2raizx^3-2y^2+4xy

Resposta

fx(x,y)=3x^2+4y2raizx^3-2y^2+4xy, fy(x,y)=4(x-y)2raizx^3-2y^2+4xy

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