lim x infty(e^x+10 x)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinfty(e^x + 10x)^1/x, que é um limite de uma forma exponencial-raiz. Vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver.

Passo 2

Definimos L = limxtoinfty(e^x + 10x)^1/x e aplicamos logaritmo natural: ln L = limxtoinftylnl(e^x + 10xr)x

Passo 3

Para simplificar ln(e^x + 10x), fatoramos e^x:
lnl(e^x + 10xr) = lnl(e^xl(1 + 10x e^-xr)r) = x + lnl(1 + 10x e^-xr)

Passo 4

À medida que xtoinfty, temos 10x e^-xto0, então ln(1+10x e^-x)to0. Assim,
ln L = limxtoinftyx + ln(1+10x e^-x)x = limxtoinftyl(1 + ln(1+10x e^-x)xr) = 1

Passo 5

Portanto ln L = 1 e, exponenciando, L = e^1 = e.

Resposta

e

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