lim x 0^+ 1x-1tg x

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto0^+l(1x - 1tan xr). Vamos usar séries de Taylor (equivalentes infinitesimais) de sin x e cos x em torno de zero para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos 1/tan x em função de sin x e cos x:
1tan x = cos xsin x
Logo,
1x - 1tan x = 1x - cos xsin x = sin x - xcos xxsin x

Passo 3

Em seguida, aplicamos as expansões de Taylor de baixo grau para sin x e cos x:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)

Passo 4

Agora, calculamos o numerador e o denominador até a ordem necessária:
sin x - xcos x = l(x - x^36 + O(x^5)r) - xl(1 - x^22 + O(x^4)r) = x^33 + O(x^5),
xsin x = xl(x - x^36 + O(x^5)r) = x^2 + O(x^4)
Portanto,
sin x - xcos xxsin x = x^33 + O(x^5)x^2 + O(x^4) = x3 + O(x^3)

Passo 5

Como a expressão se comporta como x/3 quando xto0^+, o limite é zero.

Resposta

0

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