Calcule as derivadas parciais:
D_{x}(x \operatorname{sen} y-y \ln x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a x da função
f(x,y)=x\operatorname{sen} y - y\ln x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável em que devemos derivar é x.
  • A variável y deve ser tratada como constante durante a diferenciação parcial.
  • A função contém dois termos: x\operatorname{sen} y e -y\ln x.
  • Observação sobre domínio: \ln x exige x>0. Logo a expressão só está definida para x>0.

Passo 2

Relembrando o conceito de derivada parcial (aula rápida e sem drama):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x} ou D_x f, mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo.
  • Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas na prática, para funções somas/produtos, usamos as regras usuais de derivação (regra da soma, regra do produto, derivada do logaritmo) tratando y como constante.
  • Fórmulas que vamos usar:
    • Se c é constante (em particular c pode ser uma expressão em y), \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c.
    • \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (para x>0).
    • Regra da soma: derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Derivando o primeiro termo x\operatorname{sen} y:
  • Aqui \operatorname{sen} y é função apenas de y, então ao derivar em relação a x ela é uma constante.
  • Aplicando \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c com c=\operatorname{sen} y, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(x\operatorname{sen} y)=\operatorname{sen} y.

Passo 4

Derivando o segundo termo -y\ln x:
  • Aqui y é constante frente à derivação em x, então podemos puxar y para fora.
  • Sabendo que \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y\ln x\bigr)=-y\cdot\frac{1}{x}=-\frac{y}{x},
válido para x>0.

Passo 5

Somando as derivadas parciais dos termos (regra da soma):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\operatorname{sen} y - y\ln x\bigr)=\operatorname{sen} y - \frac{y}{x},
com a ressalva de que a expressão está definida para x>0.

Resposta

\operatorname{sen} y - \dfrac{y}{x}

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