Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação a
da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável em que devemos derivar é
. - A variável
deve ser tratada como constante durante a diferenciação parcial. - A função contém dois termos:
e . - Observação sobre domínio:
exige . Logo a expressão só está definida para .
Passo 2
Relembrando o conceito de derivada parcial (aula rápida e sem drama):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada ou , mede a taxa de variação de quando apenas varia e fica fixo. - Formalmente,
mas na prática, para funções somas/produtos, usamos as regras usuais de derivação (regra da soma, regra do produto, derivada do logaritmo) tratando
como constante.
- Fórmulas que vamos usar:
- Se
é constante (em particular pode ser uma expressão em ), . -
(para ). - Regra da soma: derivada de soma é soma das derivadas.
- Se
Passo 3
Derivando o primeiro termo
:
- Aqui
é função apenas de , então ao derivar em relação a ela é uma constante. - Aplicando
com , obtemos
Passo 4
Derivando o segundo termo
:
- Aqui
é constante frente à derivação em , então podemos puxar para fora. - Sabendo que
, temos
válido para
.
Passo 5
Somando as derivadas parciais dos termos (regra da soma):
com a ressalva de que a expressão está definida para
.