Calcule as derivadas parciais:
f_{1}(r, \theta); onde f(r, \theta)=r^{2} \cos 7 \theta

Passo 1

O enunciado dá a função \!f(r,\theta)=r^{2}\cos 7\theta e pede para calcular a derivada parcial denominada f_{1}(r,\theta).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis: \!r e \!\theta.
  • A expressão explícita é \!r^{2}\cos 7\theta.
  • A notação f_{1} indica a derivada parcial em relação à primeira variável, ou seja, em relação a \!r.

Passo 2

O que é uma derivada parcial em relação a \!r?
Definição (intuição): a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}(r,\theta) mede como f varia quando só mudamos \!r e mantemos \!\theta fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial r}(r,\theta)=\lim_{h\to 0}\frac{f(r+h,\theta)-f(r,\theta)}{h},
mas na prática, quando a função é uma composição ou produto simples, usamos regras usuais de derivação tratando \!\theta como constante.

Passo 3

Observação sobre a estrutura de \!f:
A função é o produto de duas partes:
  • uma parte que depende só de \!r: \!r^{2},
  • uma parte que depende só de \!\theta: \!\cos 7\theta.
    Quando derivamos em relação a \!r, a parte \!\cos 7\theta é constante (pois não depende de \!r). Logo podemos usar a regra simples:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(g(r)\,h(\theta)\bigr)=g'(r)\,h(\theta),
quando g depende só de r e h só de \theta.

Passo 4

Derivando a parte que depende de \!r:
A derivada de \!r^{2} em relação a \!r é a regra básica da potência:
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}\bigr)=2r.
Aqui \!r é a variável e aplicamos a regra \dfrac{d}{dr}r^{n}=nr^{n-1} com n=2.

Passo 5

Combinar os resultados:
Aplicando a regra do Passo 3 e o resultado do Passo 4, obtemos
f_{1}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial r}(r,\theta) = \biggl(\frac{d}{dr}r^{2}\biggr)\cdot\cos 7\theta = 2r\cos 7\theta.

Passo 6

Pequena verificação numérica (para ter segurança):
Escolha um ponto, por exemplo \!r=1, \!\theta=0. Então \!f(1,0)=1^{2}\cos 0=1. A derivada parcial calculada dá \!f_{1}(1,0)=2\cdot1\cdot\cos 0=2. Faz sentido: se aumentarmos \!r um pouquinho mantendo \!\theta=0, f cresce aproximadamente 2 vezes esse aumento, o que bate com a derivada.

Resposta

f_{1}(r,\theta)=2r\cos 7\theta

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