Calcule as derivadas parciais:
; onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial denominada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de duas variáveis:
e . - A expressão explícita é
. - A notação
indica a derivada parcial em relação à primeira variável, ou seja, em relação a .
Passo 2
O que é uma derivada parcial em relação a
?
Definição (intuição): a derivada parcial mede como
varia quando só mudamos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Definição (intuição): a derivada parcial
mas na prática, quando a função é uma composição ou produto simples, usamos regras usuais de derivação tratando
como constante.
Passo 3
Observação sobre a estrutura de
:
A função é o produto de duas partes:
A função é o produto de duas partes:
- uma parte que depende só de
: , - uma parte que depende só de
: .
Quando derivamos em relação a, a parte é constante (pois não depende de ). Logo podemos usar a regra simples:
quando
depende só de
e
só de
.
Passo 4
Derivando a parte que depende de
:
A derivada de em relação a
é a regra básica da potência:
A derivada de
Aqui
é a variável e aplicamos a regra
com
.
Passo 5
Combinar os resultados:
Aplicando a regra do Passo 3 e o resultado do Passo 4, obtemos
Aplicando a regra do Passo 3 e o resultado do Passo 4, obtemos
Passo 6
Pequena verificação numérica (para ter segurança):
Escolha um ponto, por exemplo ,
. Então
. A derivada parcial calculada dá
. Faz sentido: se aumentarmos
um pouquinho mantendo
,
cresce aproximadamente
vezes esse aumento, o que bate com a derivada.
Escolha um ponto, por exemplo