Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}; onde w=\ln u e u=7 x^{2}+4 y^{3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado w=\ln u.
  • Dado u=7x^{2}+4y^{3}.
  • Pede-se a derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial x}, isto é, a taxa de variação de w quando x varia e y é tratada como constante.

Passo 2

Regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se w=f(u) e u=u(x,y), então a derivada parcial de w em relação a x é
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui f'(u) é a derivada da função externa em relação a u (avaliada no valor u(x,y)) e \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial da função interna em relação a x. Ao calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} tratamos y como constante.

Passo 3

Derivada da função externa: a função externa é f(u)=\ln u. A derivada de \ln u em relação a u é
f'(u)=\frac{1}{u}.
Explicação: a regra básica é que \dfrac{d}{du}\big(\ln u\big)=1/u para u>0.

Passo 4

Derivada parcial da função interna: u(x,y)=7x^{2}+4y^{3}. Calculando \dfrac{\partial u}{\partial x} (tratando y como constante):
  • Derivada de 7x^{2} em relação a x pela regra do poder: \dfrac{d}{dx}(7x^{2})=7\cdot 2x=14x.
  • Derivada de 4y^{3} em relação a x é 0, porque y é constante quando derivamos em relação a x.
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=14x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia (juntando Passo 3 e Passo 4):
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{u}\cdot 14x=\frac{14x}{u}.
Substituindo u=7x^{2}+4y^{3} obtemos a forma final:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{14x}{7x^{2}+4y^{3}}.

Passo 6

Observações finais e dica para prova:
  • Lembre-se de que \ln u exige u>0; portanto a expressão só faz sentido onde 7x^{2}+4y^{3}>0.
  • Dica rápida: na prova, identifique rapidamente a função externa ( \ln) e a interna ( 7x^{2}+4y^{3}), calcule a derivada da externa em função de u e multiplique pela derivada parcial da interna em relação a x. Trate y como constante durante a derivação.

Resposta

\dfrac{14x}{7x^{2}+4y^{3}}

Exercícios relacionados