Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
; onde
e
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
. - Dado
. - Pede-se a derivada parcial
, isto é, a taxa de variação de quando varia e é tratada como constante.
Passo 2
Regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é
Aqui
é a derivada da função externa em relação a
(avaliada no valor
) e
é a derivada parcial da função interna em relação a
. Ao calcular
tratamos
como constante.
Passo 3
Derivada da função externa: a função externa é
. A derivada de
em relação a
é
Explicação: a regra básica é que
para
.
Passo 4
Derivada parcial da função interna:
. Calculando
(tratando
como constante):
- Derivada de
em relação a pela regra do poder: . - Derivada de
em relação a é , porque é constante quando derivamos em relação a .
Portanto
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia (juntando Passo 3 e Passo 4):
Substituindo
obtemos a forma final:
Passo 6
Observações finais e dica para prova:
- Lembre-se de que
exige ; portanto a expressão só faz sentido onde . - Dica rápida: na prova, identifique rapidamente a função externa (
) e a interna ( ), calcule a derivada da externa em função de e multiplique pela derivada parcial da interna em relação a . Trate como constante durante a derivação.