Determine a transformada de Laplace inversa de F(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}-2 s+2}.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:
  • Dado: \displaystyle F(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}-2 s+2}.
  • Pedido: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, a transformada de Laplace inversa de F(s).
Informações relevantes que vejo imediatamente:
  • Há um fator exponencial em s, e^{-2s}. Isso costuma indicar um deslocamento no tempo (uma função multiplicada por um degrau de Heaviside deslocado).
  • O denominador é um polinômio quadrático em s: s^{2}-2s+2. Provavelmente dá para completar o quadrado e reconhecer uma forma padrão de transformada de funções do tipo e^{at}\sin(bt) ou e^{at}\cos(bt).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): usar o teorema do deslocamento no tempo (teorema da densa em s).
  • Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\}=u(t-a)\,g(t-a),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (valendo 0 para t<a e 1 para t\ge a).
Portanto, para aplicar esse teorema preciso encontrar uma função g(t) tal que
G(s)=\frac{1}{s^{2}-2s+2}.
Depois a solução será f(t)=u(t-2)\,g(t-2).

Passo 3

Reconhecer G(s) completando o quadrado no denominador:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Então
G(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
Agora uso pares-padrão de transformada de Laplace:
  • Fórmula conhecida: para a,b\in\mathbb{R} com b>0,
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Explicando rapidamente de onde vem (intuição): a transformada de \sin(bt) é b/(s^{2}+b^{2}); multiplicar pela exponencial e^{at} desloca s para s-a no domínio s, dando as fórmulas acima.
No nosso caso temos (s-1)^{2}+1, ou seja a=1 e b=1. Comparando com a fórmula,
\frac{1}{(s-1)^{2}+1}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
com a=1 e b=1. Portanto
G(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}=\mathcal{L}\{e^{t}\sin t\}.
Logo a função não deslocada é g(t)=e^{t}\sin t (definida para t\ge 0).

Passo 4

Aplicar o teorema do deslocamento no tempo com a=2:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2 s}G(s)\}=u(t-2)\,g(t-2).
Substituindo g(t)=e^{t}\sin t obtemos
f(t)=u(t-2)\,e^{\,t-2}\sin(t-2).
Explicação do que isso significa na prática:
  • Para t<2 a função vale 0 (por causa do fator u(t-2)).
  • Para t\ge 2 a função é e^{t-2}\sin(t-2), ou seja, é a função e^{\tau}\sin\tau iniciada no tempo \tau=0 quando t=2.

Passo 5

Verificação rápida (para me deixar mais confiante, e você pode usar na prova como checagem):
  • Se f(t)=u(t-2)e^{t-2}\sin(t-2), ao aplicar a transformada de Laplace usa-se a propriedade de deslocamento no tempo para obter e^{-2s} multiplicando a transformada de e^{t}\sin t, que é 1/((s-1)^{2}+1). Isso reconstrói exatamente F(s), confirmando a resposta.

Resposta

\displaystyle f(t)=u(t-2)\,e^{\,t-2}\sin(t-2)

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