Determine a transformada de Laplace inversa de
.
Passo 1
O que o problema dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: encontrar
, ou seja, a transformada de Laplace inversa de .
Informações relevantes que vejo imediatamente:
- Há um fator exponencial em
, . Isso costuma indicar um deslocamento no tempo (uma função multiplicada por um degrau de Heaviside deslocado). - O denominador é um polinômio quadrático em
: . Provavelmente dá para completar o quadrado e reconhecer uma forma padrão de transformada de funções do tipo ou .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): usar o teorema do deslocamento no tempo (teorema da densa em
).
- Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se
, então
onde
é a função degrau de Heaviside (valendo
para
e
para
).
Portanto, para aplicar esse teorema preciso encontrar uma função tal que
Portanto, para aplicar esse teorema preciso encontrar uma função
Depois a solução será
.
Passo 3
Reconhecer
completando o quadrado no denominador:
Então
Agora uso pares-padrão de transformada de Laplace:
- Fórmula conhecida: para
com ,
Explicando rapidamente de onde vem (intuição): a transformada de
é
; multiplicar pela exponencial
desloca
para
no domínio
, dando as fórmulas acima.
No nosso caso temos
, ou seja
e
. Comparando com a fórmula,
com
e
. Portanto
Logo a função não deslocada é
(definida para
).
Passo 4
Aplicar o teorema do deslocamento no tempo com
:
Substituindo
obtemos
Explicação do que isso significa na prática:
- Para
a função vale (por causa do fator ). - Para
a função é , ou seja, é a função iniciada no tempo quando .
Passo 5
Verificação rápida (para me deixar mais confiante, e você pode usar na prova como checagem):
- Se
, ao aplicar a transformada de Laplace usa-se a propriedade de deslocamento no tempo para obter multiplicando a transformada de , que é . Isso reconstrói exatamente , confirmando a resposta.