Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=\arctan (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R definida por
f(x,y)=\arctan(xy).
Para isso vamos usar a regra da cadeia: a derivada de \arctan(u) é \tfrac{1}{1+u^2} e, aqui, u(x,y)=x\,y.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) aplicamos a regra da cadeia a f(x,y)=\arctan(u) com u=x\,y. Primeiro,
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^2},
depois
\frac{\partial u}{\partial x}=y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+(x\,y)^2}\cdot y =\frac{y}{1+(x\,y)^2}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) repetimos o mesmo raciocínio. Mantendo u=x\,y,
\frac{\partial u}{\partial y}=x
e portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+(x\,y)^2}\cdot x =\frac{x}{1+(x\,y)^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y}{1+(x\,y)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{1+(x\,y)^2}.

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