Encontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela)
f(x, y)=-x^{2}-y^{2}+4 x+6 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos extremos da função
f(x,y) = -x^{2} - y^{2} + 4x + 6y
Isso envolve calcular as derivadas parciais, igualar o gradiente a zero para achar pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (máximo, mínimo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x + 4, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -2y + 6.

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico, igualamos o gradiente a zero:
-2x + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,
-2y + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 3.
Logo, o único ponto crítico é (2,3).

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[6pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.
Os autovalores de H são ambos -2, estritamente negativos, portanto H é definida negativa e o ponto crítico é um ponto de máximo local (e, neste caso de forma global, pois a função é quadrática côncava).]

Passo 5

Calculamos o valor de f em (2,3):
f(2,3) = -(2)^{2} - (3)^{2} + 4\cdot2 + 6\cdot3 = -4 - 9 + 8 + 18 = 13.

Resposta

O único ponto extremo é (2,3), que é ponto de máximo (local e global) com valor f(2,3)=13.

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